Lleno de gente y periodos de silencio en un $M/M/1$ cola

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente ejercicio (no a la tarea):

Considere la posibilidad de una $M/M/1$ cola con la llegada de la tasa de 60 clientes por hora y una media de tiempo de servicio de 45 segundos. Un período durante el cual hay 5 o más clientes en el sistema es llamado lleno de gente, cuando hay menos de 5 clientes es tranquilo. ¿Qué es $(i)$ el número promedio de hacinamiento de los períodos por día (8 horas) y $(ii)$ ¿cuánto tiempo duran en promedio?

Así que la llegada y servicio de procesos se producen de acuerdo a los procesos de Poisson. La conversión de todo en minutos, vemos que tenemos una llegada tasa de $\lambda = 1$ cliente por minuto y una tasa de servicio de $\mu = \frac{4}{3}$. Así que tenemos una carga de trabajo de la $\rho = \frac{3}{4}$.

Ahora, hay una sección en el lector estoy usando el que se analiza la distribución y la media de un 'período de intensa actividad", es decir. un periodo en el que la cola no está vacía (en oposición a los períodos de inactividad', donde no hay clientes en la cola). Estoy tratando de reproducir un argumento similar para este caso, en el que estoy nombrando a un período donde hay 5 o más clientes en la cola de la multitud en un periodo y de un periodo donde hay menos de 5 clientes de un "período de silencio'. Por desgracia no he hecho ningún progreso en este punto. Cualquier consejo y sugerencias son bienvenidos.

EDITAR

Voy a dar los resultados que el lector se da para el período ocupado aquí (donde, de nuevo, un largo período se define como el periodo en el que el sistema (cola + servidor) es no vacío).

Es dado en las páginas 37 a 39 de la siguiente pdf: http://www.win.tue.nl/~iadan/la formación de colas.pdf

Así que la necesidad de adaptar el argumento dado en la sección 4.6.2.

Answer 1

(i) Un nuevo atestado período se inicia cada vez que el sistema pasa de tener 4 a los clientes a tener 5 clientes. Así, el número promedio de hacinamiento de los períodos por día es la media del número de veces por día que el sistema de transiciones de estado 4 estado 5. Esto es $8(60)\lambda \pi_4$ donde $\lambda$ es el minuto a minuto de la llegada de la tasa de e $\pi_4$ a largo plazo es la probabilidad de que existen 4 clientes en el sistema. (Véase, por ejemplo, el segundo-a último párrafo de la página 30, en las notas que enlace a.) Desde $\pi_4 = (1 - \rho) \rho^4$ (ver eq. 4.6 en los linked notes), existen alrededor de 38 lleno de gente períodos por día en promedio.

(ii) El promedio de tiempo de un período lleno de gente es la cantidad promedio de tiempo entre un estado 4 estado 5 de transición y el estado 5 estado 4 de la transición. Gracias al hecho de que usted tiene un $M/M/1$ cola (en particular, un servidor, un infinito de longitud de la cola, y la memoryless propiedad que viene de tener llegadas de Poisson y exponencial de los tiempos de servicio), si usted dibuje el diagrama de transición de estados verá que esto es exactamente equivalente a la cantidad promedio de tiempo entre un estado 0 al estado 1 y la transición de la siguiente estado 1 al estado 0 de la transición. Por lo que el promedio de tiempo de un período lleno de gente es la misma que para un "período muy ocupado" en el ejemplo que se da en las notas; es decir, $$\frac{1/\mu}{1 - \rho} = \frac{3/4}{1 - 3/4} = 3 \text{ minutes}.$$