Sé que esto se puede hacer fácilmente resolviendo para $y$ y sustituyendo, de modo que sólo hay que encontrar el valor mínimo de la parábola $\large x^2 + \left ( \frac {60-5x}{12} \right)^2$ utilizando técnicas estándar, pero ¿hay una forma menos complicada de hacerlo utilizando desigualdades? He intentado varias cosas como $AM-GM$ pero no llego a ninguna parte. Una cosa que noté sobre la restricción es que es de la forma $ax+by=ab$ pero no sé cómo hacer uso de eso. Gracias.
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Calvin Lin
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Una pista: Considere la gráfica de la línea $5x+12y = 60$ .
Una pista: El valor mínimo se produce cuando la circunferencia con origen como centro, es tangente a la línea anterior.
Una pista: Encuentra el punto de tangencia. Usa el hecho de que una tangente es perpendicular al radio.
Aplicando la QM-AM (ponderada), tenemos
$\sqrt{\frac{x^2 + y^2}{169}} = \sqrt{\frac{25 \times \frac{x^2}{25} + 144 \times \frac{y^2}{144}}{169}} \geq \frac{ 25 \times \frac{x}{5} + 144 \times \frac{y}{12} } { 169 } = \frac{ 5x+12y}{169} = \frac{60}{169}$ .
SO $\sqrt{x^2+y^2} \geq \frac{60}{13} $
JohnJohnGa
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Ali
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Puede dibujar un gráfico de $5x+12y=60$ . $\sqrt{x^2+y^2}$ es mínimo cuando es la distancia más corta desde el origen hasta $5x+12y=60$ . La distancia se puede encontrar utilizando el área del triángulo y la longitud de la hipotenusa. Área = $30$ , hipotenusa = $13$ . Por lo tanto, la distancia = $\dfrac{60}{13}$
abyss.7
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Tenemos $\langle z,v\rangle = 60$ para $z:=(x,y)$ et $v=(5,12)$ . Queremos minimizar $|z|$ o lo que es lo mismo $|z|^2=\langle z,z\rangle$ . Ahora, a partir de la desigualdad de Cauchy $|\langle z,v\rangle|\leq |z||v|$ . A partir de ahí, se obtiene el límite $|\langle z,v\rangle|/|v|\leq |z|$ . La igualdad en la desigualdad de Cauchy se alcanza cuando los vectores son proporcionales. Por lo que se obtiene el mínimo es $|\langle z,v\rangle |/|v|$ .
