Caracterización de Schur Functors

Question

Un Schur functor (en la teoría de la algebraicas operads) en la categoría de espacios vectoriales sobre un campo $k$,(o, más generalmente, cualquier abelian simétrica del tensor de la categoría) se define por:

$$\tilde{M}(V) := \bigoplus_{n\geq 0} M(n)\otimes_{S_n} V^{\otimes n}$$ ($M(n)$ es un espacio vectorial con derecho $S_n$ acción para cada $n$)

No existe una categoría de la caracterización de tales endofunctors de $\mathrm{Vect}_k$ (abelian tensor de la categoría)? por ejemplo, si $M$ es compatible en grado $1$, (es decir, $M(n)=0$ por cada $n\neq 1$) y el resultado functors son exactamente los aditivos derecho exacta endofunctors. No existe una interpretación similar en otros casos?

Gracias!

Answer 1

Aquí es una cosa que se puede decir, aunque puede que no sea el tipo de resultado que tiene en mente. Primero de todo, no basta con que su tensor de la categoría de ser abelian; si $M$ no finitely apoyado también la necesidad infinita de co-productos. Es mejor trabajar con monoidal simétrica cocomplete $k$-lineal categorías (esto incluye la condición de que el monoidal operación $k$-bilineal y conserva colimits en ambas variables).

En esta configuración Schur functors surgen de forma natural como sigue. La libre monoidal simétrica cocomplete $k$-lineal de la categoría de un objeto resulta ser la categoría de "$k$-lineal de las especies", o, equivalentemente, la categoría de $\text{Vect}_k$valores de presheaves en $\text{FinSet}^{\times}$, el groupoid finito de conjuntos y bijections, o, equivalentemente, la categoría de secuencias de $M(n)$ $k$- espacios vectoriales equipado con derecho a las acciones de los grupos simétricos $S_n$. $\text{FinSet}^{\times}$ sí es la libre monoidal simétrica de la categoría de un objeto, con monoidal simétrica estructura dada por la desunión de la unión, y este monoidal simétrica estructura induce un monoidal simétrica estructura en $k$-lineal de las especies por Día de convolución.

En particular, esta característica universal de los estados que cada objeto $V$ en un monoidal simétrica cocomplete $k$-lineal de la categoría $C$ naturalmente da lugar a un functor de $k$-lineal de las especies en $C$, y este functor es dada, precisamente, por

$$M(n) \mapsto \bigoplus_{n \ge 0} M(n) \otimes_{S_n} V^{\otimes n}.$$

El universal propiedad además establece que cada monoidal simétrica cocontinuous $k$-lineal functor de $k$-lineal de las especies a $C$ tiene esta forma, y en el hecho de que la categoría de tales functors es equivalente a $C$. En particular, teniendo en $C$ $k$- lineal de la especie en sí, vemos que el monoidal simétrica cocontinuous $k$-lineal endofunctors de $k$-lineal especies pueden ser identificadas con $k$-lineal de las especies, pero con una nueva estructura monoidal correspondiente a la composición de Schur functors.

En particular, teniendo en $C$ $k$- lineal de la especie en sí y el uso de una versión adecuada de la Yoneda lema, vemos que Schur functors son precisamente los naturales de operaciones unarias sobre monoidal simétrica cocomplete $k$-lineal categorías en el sentido de que son precisamente los naturales endomorphisms de los desmemoriados functor de monoidal simétrica cocomplete $k$-lineal categorías a las categorías. Ver esta entrada del blog para ver algunos ejemplos, con categorías reemplazados por juegos, de por qué esta construcción que merece ser llamado "operaciones unarias."

Entre otras cosas, este punto de vista le da una buena caracterización de $k$-lineal operads: son precisamente los monoid objetos en $k$-lineal de las especies con respecto a la composición de la estructura monoidal, lo que significa que son precisamente los "naturales mónadas" en monoidal simétrica cocomplete $k$-lineal categorías.