Resultados positivos son bastante agradables. I los explica en esta nota para conmutadores de potencias (ver las últimas páginas para ver bonitas imágenes y fórmulas locas). No he llegado a tratar el caso especial de las potencias de los conmutadores, pero Culler y Bavard dan resultados definitivos.
Resultados negativos: Estas son sólo fórmulas reales bien conocidas que tienen " $c$ " siendo demasiado largo, incluso permitiéndonos omitir conmutadores más largos. Si nunca lo has hecho, intenta escribir $(ab)^3 = a^3 b^3 c$ y obtener realmente una fórmula para $c$ sólo con conmutadores (de conmutadores) de $a$ y $b$ .
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Robinson, página 137, 5.3.5, $(xy)^m = x^m y^m [y,x]^{\binom{m}{2}} \mod \gamma_3$ tiene $c$ de longitud cuadrática
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Hall, capítulos 11 y 12. En realidad no veo la fórmula (¡!) pero los algoritmos utilizados para derivar la fórmula y su $\mod \gamma_4$ hermanos están allí, así como la aplicación a la regularidad $p$ -grupos, que dice que al menos se puede elegir $c$ para ser un producto de $n$ de los poderes, pero no hay límite en el número de ellos. Esto es mod un subgrupo más difícil de describir, también.
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Gorenstein, Capítulo 5.6 tiene la técnica (de nuevo modulo un subgrupo difícil de describir, debido a la $p$ frente a $c$ de $\gamma_c$ relación). También tiene aplicaciones de la fórmula de 5.3.9, pero no la fórmula propiamente dicha.
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Leedham-Green-McKay, Corolario 1.1.7 $$[x,y]^n = (x^{-1} y^{-1})^n (xy)^n [y,x]^{\binom{n}{2}} [[y,x],x]^{\binom{n}{3}} \cdots$$ $$[y,x]^n = [y^n,x] [[x,y],y]^{\binom{n}{2}} [[[x,y],y],y]^{\binom{n}{3}} \cdots$$ modulo el subgrupo generado por conmutadores que contienen al menos 2 $x$ s. De nuevo cuadrática (cúbica, cuártica, etc. si no se modula por $\gamma_3$ ) no es lineal.
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La fórmula de Culler es $$[a,b]^3 = [b^a,a^{-1} b^a b^{-1}][bab^{-1},b^2]$$ expresar un producto de tres conmutadores como un producto de dos conmutadores, lo cual es inquietante. De hecho, Culler demostró que la longitud del conmutador de $[a,b]^n$ es menor o igual que $\tfrac{n}{2} + 1$ y Bavard demostró que uno tiene igualdad (con el mayor entero menor o igual a $\tfrac{n}{2}+1$ ). Danny Calegari y Alden Walker han mejorado los algoritmos utilizados en estos trabajos, pero utilizando la misma idea topológica básica. También quiero mencionar que los diagramas utilizados en estos trabajos están en las cubiertas interiores del libro de texto de teoría de grupos de Rotman.
Dos contra tres
$n=2$ es especial y tiene una fórmula finita con todo ordenado: $$(ab)^2 = abab = aab[b,a]b = a^2 b^2 [b,a] [[b,a],b]$$
$n=3$ se parece más al resto, y no tiene una fórmula finita si se intenta ordenar los conmutadores por peso. Incluso la fórmula sin ordenar es bastante larga: $$\begin{array}{ll} (ab)^3 &= ababab \\ &= aab[b,a]bab \\ &= aab[b,a]ab[b,a]b \\ &= aaba[b,a][[b,a],a]b[b,a]b \\ &= aaab[b,a]^2[[b,a],a]b[b,a]b \\ &= a^3b[b,a]^2 b [[b,a],a] [[[b,a],a],b] [b,a] b \\ &= a^3b^2 [b,a][b,a,b][b,a][b,a,b][[b,a],a] [[[b,a],a],b] [b,a] b \\ &= a^3 b^3 [b,a][b,a,b][b,a,b][b,a,b,b][b,a][b,a,b][b,a,b] \\ &\quad [b,a,b,b][b,a,a][b,a,a,b][b,a,a,b][b,a,a,b,b][b,a][b,a,b] \end{array}$$ Por supuesto, si vamos mod $\gamma_4$ entonces perdemos todo lo que $[b,a,b,b]$ sin sentido y se quedan con: $$(ab)^3 = a^3 b^3 [b,a]^3 [b,a,b]^5 [b,a,a]^1 \mod \gamma_4$$
Las potencias de esos conmutadores se llaman polinomios de Hall si se deja $n$ varían.
$$(ab)^n = a^n b^n [b,a]^{\binom{n}{2}} [b,a,a]^{\binom{n}{3}} [b,a,b]^{2\binom{n}{3}+\binom{n}{2}} \mod \gamma_4$$
tiene un crecimiento cúbico. El polinomio de Hall para $[b,a,a,\ldots,a]$ es siempre $\binom{n}{k}$ . También hay tres versiones variables y superiores.
Longitud del colector
En realidad, la longitud del conmutador puede ser mucho más corta de lo que indican las fórmulas.
$$(ab)^3 = a^3 b^3 [ {(ab)}^{-1} b^2, b^{-1} (ab)^2 ]$$ $$(ab)^3 = (ba)^3 [aba,bab]$$
La primera puede aplicarse con $a=x^{-1} y^{-1}$ y $b=xy$ para responder a la pregunta principal.
Guiado por vieira por Alden Walker y Danny Calegari, encontré $$(ab)^4 = a^4 b^4 [a^{-1}b^2, a^{-2}ba][ ba^{-2}ba,(ba)^2b ]$$
Creo que estas fórmulas más cortas pierden parte de la importancia teórica que tenían las fórmulas "más bonitas", pero me preocupa que este tipo de cosas den una respuesta positiva a la pregunta. Sigo interesado en una respuesta positiva.
Resultado positivo
Para demostrar el teorema de Schur de que si $[G:Z(G)]$ es finito entonces también lo es $G'$ Ornstein lo demostró de una manera muy similar a la fórmula de Cullen y a las ideas de la longitud del conmutador. El primer paso fue la recordada afirmación $[a,b]^n = (ba)^{-n} (ab)^n u$ donde $u$ es un producto de $n-1$ conmutadores. Esto se deduce de la inducción en $n$ con $n=1$ siendo claro. $$\begin{array}{ll} [a,b]^n &= [a,b] [a,b]^{n-1} \\ &= [a,b] (ba)^{1-n} (ab)^{n-1} u_{n-2} \\ &= (ba)^{-1}(ab) (ba)^{1-n} (ab)^{n-1} u_{n-2} \\ &= (ba)^{-1}(ba)^{1-n} (ab)^{n-1} (ab) [ (ab), (ba)^{1-n} (ab)^{n-1} ] u_{n-2} \\ &= (ba)^{-n} (ab)^n u_{n-1} \end{array}$$
Gracias a Babak por encontrar esta sencilla prueba. Se utiliza con $n=[G:Z(G)]$ desde entonces $(ba)^{-n} (ab)^n = 1$ porque $(ab)^n \in Z(G)$ y $(ab)^n = ((ba)^b)^n = ((ba)^n)^b = (ba)^n$ . Esto hace que $[a,b]^n$ es un producto de $n-1$ conmutadores, en lugar de $n$ . En cualquier producto de conmutadores de longitud mínima, ningún conmutador aparece a una potencia superior a $n$ . Desde $xyx = x^2 y^x$ y la longitud del conmutador de un conjugado es la misma que la del original, podemos ordenar cualquier expresión de este tipo para llevar todas las copias de un conmutador a una potencia. Por lo tanto, ningún conmutador aparece en ninguna parte de una expresión mínima $n$ o más veces. Dado que sólo hay como máximo $n^2$ conmutadores, es decir, un total de menos de $n^3$ expresiones, por lo que $|G'| \leq [G:Z(G)]^3$ . Sospecho que las otras fórmulas que tenemos dan que $|G'| \leq 3[G:Z(G)]^2$ .
