Acerca de la Wasserstein "métrica"

Question

Sólo he encontrado la Wasserstein métrica, y no parece obvio para mí ¿por qué esto es de hecho una métrica en el espacio de las medidas de un espacio métrico $X$. Excepto para los no-negatividad y la simetría (que son obvias), no sé cómo proceder.

¿Ustedes tienen alguna avisos o enlaces a referencias útiles ?

Gracias de antemano !
Cirilo

Answer 1

Así que supongo que lo que los rompecabezas son el triángulo de la desigualdad y la $W_{p}(\mu,\mu)=0$ donde $W_{p}$ indica el $p$-Wasserstein métrica.

Aquí un poco de información preliminar. Voy a denotar $\Pi(\mu,\nu)$ la colección de todos los planes de transferencia de$\mu$$\nu$, es decir, $\pi\in\Pi(\mu,\nu)$ fib $\mu$ es el primer marginal de $\pi$ $\nu$ es el segundo. Esto también puede ser expresado en forma de $\mu=(\mathrm{pr}_{1})_{\#}\pi$ $\nu=(\mathrm{pr}_{2})_{\#}\pi$ donde $\#$ denota el empuje hacia adelante. Si $(X,d)$ es el polaco, a continuación, para cada par de medidas de probabilidad $\mu,\nu$ existe una óptima transferencia del plan de $\pi\in\Pi(\mu,\nu)$, de modo que $W_{p}(\mu,\nu)=\left(\int_{X\times X}d(x,y)^{p}\,d\pi(x,y)\right)^{\frac{1}{p}}$. La prueba de esto puede encontrarse en el libro "Temas en óptimas transporte", Cédric Villani, 2003, y el punto clave consiste en señalar que $\Pi(\mu,\nu)$ es compacto en la debilidad de la convergencia de las medidas (que se muestra mediante el uso de Prokhorov del teorema).

Ahora a la métrica de sí mismo.

El triángulo de la desigualdad utiliza lo que se llama un "Pegar lexema" (que también se encuentra en Roma del libro). Se afirma que si $\mu_{1},\mu_{2},\mu_{3}$ son Borel medidas de probabilidad en $X$, e $\pi_{1,2}\in\Pi(\mu_{1},\mu_{2})$ $\pi_{2,3}\in\Pi(\mu_{2},\mu_{3})$ son de óptima transferencia planes, entonces existe un Borel probabilidad de medida $\mu$ $X^{3}$ con marginales $\pi_{1,2}$ a la izquierda $X\times X$ $\pi_{2,3}$ a la derecha $X\times X$. Esta medida en un sentido juntos pega $\pi_{1,2}$$\pi_{2,3}$. Se sigue por un simple argumento mediante el marginal propiedades de cada una de las medidas que la marginal de $\mu$ $X\times X$(la primera y la tercera $X$) denotado por $\pi_{1,3}$ es un plan de transferencia en $\Pi(\mu_{1},\mu_{3})$ (no necesariamente óptima!) $(*)$. El uso de minkovski la desigualdad de $L^{p}(X^{3},\mu)$ $(**)$, marginales de las propiedades de las medidas de $(***)$, de optimalidad de $\pi_{1,2}$ y $\pi_{2,3}$ $(****)$, obtenemos \begin{align*} W_{p}(\mu_{1},\mu_{3}) &\overset{(*)}{\leq} \bigg(\int_{X\times X}d(x,z)^{p}\,d\pi_{1,3}(x,z)\bigg)^{\frac{1}{p}}\overset{(***)}{=}\bigg(\int_{X\times X\times X}d(x,z)^{p}\,d\mu(x,y,z)\bigg)^{\frac{1}{p}} \\ &\leq \bigg(\int_{X\times X\times X}(d(x,y)+d(y,z))^{p}\,d\mu(x,y,z)\bigg)^{\frac{1}{p}} \\ &\overset{(**)}{\leq}\bigg(\int_{X\times X\times X}d(x,y)^{p}\,d\mu(x,y,z)\bigg)^{\frac{1}{p}}+\bigg(\int_{X\times X\times X}d(y,z)^{p}\,d\mu(x,y,z)\bigg)^{\frac{1}{p}} \\ &\overset{(***)}{=}\bigg(\int_{X\times X}d(x,y)^{p}\,d\pi_{1,2}(x,y)\bigg)^{\frac{1}{p}}+\bigg(\int_{X X\times X}d(y,z)^{p}\,d\pi_{2,3}(y,z)\bigg)^{\frac{1}{p}} \\ &\overset{(****)}{=}W_{p}(\mu_{1},\mu_{2})+W_{p}(\mu_{2},\mu_{3}). \end{align*} Así tenemos el triángulo de la desigualdad.

Acerca de la $W_{p}(\mu,\mu)=0$, tomar el homeomorphism $f:X\to\Delta$$x\mapsto(x,x)$, es decir, $\Delta$ es la "diagonal" de $X\times X$. A continuación, tome $\nu:=f_{\#}\mu$ (que es un Borel probabilidad de medida de la diagonal $\Delta$) y, además, definir un Borel probabilidad de medida $\pi$ en el espacio del producto $X\times X$ mediante el establecimiento $\pi(A)=\nu(A\cap\Delta)$ para todos los conjuntos de Borel $A$. Ahora $\pi$ es un plan de transferencia entre el $\mu$ a sí mismo (no necesariamente óptima!), que es una recta a la prueba, y se desvanece fuera de la diagonal (es decir,$\pi(\Delta^{c})=0$). Desde la diagonal es el ajuste a cero de la métrica $d$, llegamos a la conclusión de que \begin{equation*} W_{p}(\mu,\mu)^{p}\leq \int_{X\times X}d(x,y)^{p}\,\pi(x,y)=\int_{\Delta}d(x,y)^{p}\,\pi(x,y)+\int_{\Delta^{c}}d(x,y)^{p}\,\pi(x,y)=0+0=0, \end{ecuación*} de dónde $W_{p}(\mu,\mu)=0$.