La elección de la columna no importa: la distribución resultante en las matrices ortogonales especiales, $SO(n)$ sigue siendo uniforme.
Explicaré esto utilizando un argumento que se extiende, de manera obvia, a muchas cuestiones relacionadas con la generación uniforme de elementos de grupos. Cada paso de este argumento es trivial, y no requiere más que la referencia a definiciones adecuadas o a un simple cálculo (como observar que la matriz $ \mathbb {I}_1$ es ortogonal y autoinverso).
El argumento es una generalización de una situación familiar. Considere la tarea de dibujar positivo números reales según una distribución continua especificada $F$ . Esto se puede hacer dibujando cualquier número real de una distribución continua $G$ y negando el resultado, si es necesario, para garantizar un valor positivo (casi seguro). Para que este proceso tenga la distribución $F$ , $G$ debe tener la propiedad que
$$G(x) - G(-x) = F(x).$$
La forma más simple de lograr esto es cuando $G$ es simétrica en torno a $0$ para que $G(x) - 1/2 = 1/2 - G(-x)$ que implica $F(x) = 2G(x) - 1$ : todas las densidades de probabilidad positivas simplemente se duplican y todos los resultados negativos se eliminan. La relación familiar entre la distribución seminormal ( $F$ ) y la distribución normal ( $G$ ) es de este tipo.
En lo siguiente, el grupo $O(n)$ juega el papel de los números reales no cero (considerados como un multiplicador grupo) y su subgrupo $SO(n)$ juega el papel de los números reales positivos $ \mathbb {R}_{+}$ . La medida Haar $dx/x$ es invariable bajo negación, así que cuando se "dobla" de $ \mathbb {R}-\{0\}$ a $ \mathbb {R}_{+}$ la distribución de los valores positivos no cambia. (Esta medida, desafortunadamente, no puede ser normalizada a una medida de probabilidad, pero es la única forma en que se rompe la analogía).
Negar una columna específica de una matriz ortogonal (cuando su determinante es negativo) es el análogo de negar un número real negativo para doblarlo en el subgrupo positivo. En general, se podría elegir de antemano cualquier matriz ortogonal $ \mathbb {J}$ de determinante negativo y utilizarlo en lugar de $ \mathbb {I}_1$ los resultados serían los mismos.
Aunque la pregunta está redactada en términos de generación de variables aleatorias, en realidad pregunta sobre las distribuciones de probabilidad en los grupos de la matriz $O(n, \mathbb {R}) = O(n)$ y $SO(n, \mathbb {R}) = SO(n)$ . La conexión entre estos grupos se describe en términos de la matriz ortogonal
$$ \mathbb {I}_1 = \pmatrix {-1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1}$$
porque negar la primera columna de una matriz ortogonal $ \mathbb X$ significa multiplicar correctamente $ \mathbb {X}$ por $ \mathbb {I}_1$ . Fíjese que $SO(n) \subset O(n)$ y $O(n)$ es la unión desarticulada
$$O(n) = SO(n) \cup SO(n)\, \mathbb {I}_1^{-1}.$$
Dado un espacio de probabilidad $(O(n), \mathfrak {S}, \mathbb {P})$ definido en $O(n)$ el proceso descrito en la pregunta define un mapa
$$f:O(n) \to SO(n)$$
al establecer
$$f( \mathbb {X}) = \mathbb {X}$$
cuando $ \mathbb {X} \in SO(n)$ y
$$f( \mathbb {X}) = \mathbb {X} \mathbb {I}_1$$
para $ \mathbb {X} \in SO(n)\,{ \mathbb {I}_1}^{-1}$ .
La pregunta se refiere a la generación de elementos aleatorios en $SO(n)$ mediante la obtención de elementos aleatorios $ \omega\in O(n)$ es decir, "empujándolos hacia adelante" a través de $f$ para producir $f_{*} \omega = f( \omega ) \in SO(n)$ . El avance crea un espacio de probabilidad $(SO(n), \mathfrak {S}^ \prime , \mathbb {P}^ \prime )$ con
$$ \mathfrak {S}^ \prime = f_{*} \mathfrak {S} = \{f(E)\,|\,E \subset\mathfrak {S}\} $$
y
$$ \mathbb {P}^ \prime (E) = (f_{*} \mathbb {P})(E) = \mathbb {P}(f^{-1}(E)) = \mathbb {P}(E \cup E\, \mathbb {I}_1)$$
para todos $E \subset \mathfrak {S}^ \prime $ .
Suponiendo que la multiplicación correcta por $ \mathbb {I}_1$ es de conservación de medidas, y observando que en cualquier caso $E \cap E\, \mathbb {I}_1 = \emptyset $ se desprendería inmediatamente de que para todos $E \in\mathfrak {S}^ \prime $ ,
$$ \mathbb {P}^ \prime (E) = \mathbb {P}(E \cup E\, \mathbb {I}_1^{-1}) = \mathbb {P}(E) + \mathbb {P}(E\, \mathbb {I}_1^{-1}) = 2 \mathbb {P}(E).$$
En particular, cuando $ \mathbb {P}$ es invariable bajo la multiplicación de derechos en $O(n)$ (que es lo que típicamente significa "uniforme"), el hecho obvio de que $ \mathbb {I}_1$ y su inverso (que pasa a ser igual $ \mathbb {I}_1$ son ambos medios ortogonales que lo anterior sostiene, demostrando que $ \mathbb {P}^ \prime $ es uniforme, también. Así, no es necesario seleccionar una columna al azar para la negación.
