¿Por qué el sonido viaja más rápido en hierro que en mercurio a pesar de que el mercurio tiene una densidad mayor?

Question

La velocidad del sonido depende de la densidad del medio por el cual viaja y aumenta cuando la densidad aumenta. Por ejemplo, en los sólidos el sonido viaja más rápido que en los líquidos e incluso más rápido que en los gases, y la densidad es mayor en los sólidos, menor en los líquidos y la más baja en los gases.

El hierro tiene una densidad de aproximadamente $7\,800\ \mathrm{kg/m^3}$, mientras que el mercurio tiene $13\,600\ \mathrm{kg/m^3}$, pero la velocidad del sonido es de $1\,450\ \mathrm{kg/m^3}$ en mercurio y $5\,130\ \mathrm{kg/m^3}$ en hierro, por lo que el mercurio tiene una mayor densidad, pero el sonido viaja más lento en él. ¿Por qué sucede esto?

Answer 1

La velocidad del sonido en un líquido está dada por:

$$ v = \sqrt{\frac{K}{\rho}} $$

donde $K$ es el módulo a granel y $\rho$ es la densidad. El módulo a granel del mercurio es $2.85 \times 10^{10}\ \mathrm{Pa}$ y la densidad es $13534\ \mathrm{kg/m^3}$, por lo que la ecuación da $v = 1451\ \mathrm{m/s}$.

La velocidad del sonido en sólidos está dada por:

$$ v = \sqrt{\frac{K + \tfrac{4}{3}G}{\rho}} $$

donde $K$ y $G$ son el módulo a granel y el módulo de cizalladura respectivamente. El módulo a granel del hierro es $1.7 \times 10^{11}\ \mathrm{Pa}$, el módulo de cizalladura es $8.2 \times 10^{10}\ \mathrm{Pa}$ y la densidad es $7874\ \mathrm{kg/m^3}$, por lo que la ecuación da $v = 5956\ \mathrm{m/s}$.

Das una cifra ligeramente diferente para la velocidad del sonido en hierro, pero la velocidad depende de la forma y la cifra que das, $5130\ \mathrm{m/s}$, es la velocidad en una varilla larga y delgada. Hay más detalles en el artículo de Wikipedia que he enlazado.

Answer 2

John Rennie ha proporcionado un tratamiento matemático exacto de las ecuaciones detrás del cálculo de la velocidad del sonido. No quiero quitarle importancia a ese tratamiento, y por supuesto los artículos de Wikipedia de los que ambos nos basamos proporcionan un tratamiento más amplio; pero para mí, en el pasado, una comprensión intuitiva del 'por qué' ha sido igualmente útil. Lo siguiente es mi intento de comprender y explicar el 'por qué' a la pregunta.

Hay más factores que afectan la velocidad del sonido en una sustancia que la densidad del medio. Esto se refleja en las ecuaciones para determinar la velocidad del sonido, principalmente la presencia del módulo de volumen y el módulo de cizalla en diferentes lugares en las ecuaciones para el sonido en un sólido y un líquido.

El módulo de volumen es una medida de la resistencia de una sustancia a la compresión uniforme. Se mide en pascals, que es la misma unidad para la presión. La compresión uniforme significa que la sustancia experimenta una presión igual en todas las direcciones (como en la presión atmosférica o submarina). Por lo tanto, el módulo de volumen te dice cuánto se contraerá la sustancia, es decir, disminuirá en volumen y aumentará en densidad, cuando esté sujeta a una presión determinada.

Ahora bien, el módulo de cizalla es una medida de rigidez. Específicamente, mide cómo responde un material a fuerzas que actúan en direcciones opuestas, como la fricción que mantiene un bloque en su lugar o separar tus manos una de la otra para rasgar un trozo de papel por la mitad. Imagina intentar someter un líquido o un gas a una fuerza de cizalla y queda claro que el módulo de cizalla no tiene significado para formas de materia distintas de los sólidos. En pocas palabras, los gases y los líquidos no resisten las fuerzas de cizallamiento.

Por esa razón, el módulo de cizalla influye en la velocidad del sonido en un sólido, pero no en la velocidad del sonido en un líquido. Wikipedia resume esto en la sección de velocidad del sonido enlazada arriba como:

En un fluido, la única rigidez diferente de cero es a la deformación volumétrica (un fluido no sostiene fuerzas de cizallamiento).

En un sentido más general, diferentes medios tienen diferentes respuestas a diferentes fuerzas. La propagación de ondas es esencialmente una transferencia de energía a través de un medio, y esa transferencia de energía se logra mediante una fuerza de compresión a nivel molecular.

Para una metáfora macroscópica, imagina propagar una onda a través de un muelle de juguete. Ese muelle parece estar hecho de acero, pero aún es muy flexible, es decir, no es rígido. Imagina repetir el experimento de ese video con una barra de acero sólido del mismo ancho y longitud. Suponiendo que los estudiantes aún pudieran mover la masa con la misma energía, no podrías observar ni una onda transversal ni una onda longitudinal. El acero sólido, a pesar de ser el mismo material con la misma densidad que el muelle, es mucho más rígido y, por lo tanto, propaga las ondas de manera muy diferente.

De manera similar, la diferencia en la rigidez entre el mercurio líquido y el hierro sólido son suficientes para superar la mayor densidad del mercurio y hacer que el sonido se propague más rápido en el hierro.

Answer 3

"La velocidad del sonido es variable y depende de las propiedades de la sustancia a través de la cual la onda se está propagando. En sólidos, la velocidad de las ondas transversales (o de corte) depende de la deformación por corte bajo esfuerzo cortante (llamado módulo de corte) y de la densidad del medio. Las ondas longitudinales (o de compresión) en los sólidos dependen de los mismos dos factores con la adición de una dependencia de la compresibilidad."

La velocidad del sonido es una función de algo más que la densidad. El módulo de corte para el hierro es de 82 GPa, no he encontrado datos sobre el módulo de Mercurio, pero seguramente difiere y esa es la razón más probable.

Answer 4

El cuadrado de la velocidad del sonido es proporcional a la relación de un módulo elástico con la densidad de masa del material. La razón por la que la velocidad del sonido es usualmente mayor en los sólidos que en los líquidos, y usualmente mayor en los líquidos que en los gases, es debido a las constantes elásticas del material.

Lo que determina las constantes elásticas de un material es la fuerza de los enlaces interatómicos. Mientras más fuerte sea el enlace, mayor serán las constantes elásticas. En líquidos, los átomos están débilmente unidos a comparación de los sólidos, por lo que las constantes elásticas son bajas. En sólidos, los átomos están más fuertemente unidos, por lo que las constantes elásticas son mayores.

Answer 5

Su pregunta debería haber sido más precisamente, "¿Por qué el sonido viaja más rápido en hierro sólido que en mercurio líquido a pesar de que el mercurio tiene una densidad mayor?"

Si la pregunta hubiera sido formulada de esa manera, la respuesta sería más obvia. A temperaturas en las que ambos metales están líquidos o ambos metales están sólidos, el sonido viaja más rápido en el metal más denso.