relación de los vectores unitarios polares con los rectangulares

Question

Estoy mirando la p. 16 de la Guía del estudiante de vectores y tensores de Fleisch. Habla de la relación entre el vector unitario en sistemas de coordenadas 2D rectangulares y polares. Él da estas ecuaciones:

$\hat{r} = cos\,(\theta)\,\hat{i} + sin\,(\theta)\,\hat{j}\\ \hat{\theta} = -sin\,(\theta)\,\hat{i} + cos\,(\theta)\,\hat{j}$

No lo entiendo. Entiendo cómo, en coordenadas rectangulares, $x = r \,cos\,(\theta)$ pero los vectores unitarios no computan. Agradecería una pista. Lo siento, no es una pregunta fantástica. Gracias.

Answer 1

Para entender la fórmula:

1) dibujar unas coordenadas cartesianas con un círculo unitario (centrado en el origen con radio 1).

2) dibujar un vector que apunte hacia 2-oclock (por lo que tenemos $\theta = 30$ Esto es arbitrario, pero prefiero este ángulo de 30 grados, ya que tiendo a confundir el seno y el cos en un ángulo de 45 grados) con una longitud de 1, por lo que este vector ( $\vec{V}$ ) termina en el círculo unitario.

3) El punto clave que hay que recordar es que estamos convirtiendo el vectores unitarios del sistema cartesiano ( $\hat{i}$ y $\hat{j}$ ) a los del sistema polar ( $\hat{r}$ y $\hat{\theta}$ ). Vector unitario por definición es de longitud 1.

4) Para llegar al vector unitario radial $\hat{r}$ : mover $1\times cos(\theta)$ unidades a lo largo de la dirección x ( $cos(\theta) \hat{i}$ ), luego mueva $1\times sin(\theta)$ unidades a lo largo de la dirección y ( $sin(\theta) \hat{j}$ ). Esta es la 1ª ecuación: $\hat{r} = cos(\theta) \hat{i} + sin(\theta) \hat{j}$ . Tenga en cuenta que así es como funcionan las sumas vectoriales. Dibújalo en tu papel y te darás cuenta inmediatamente.

5) Ahora para obtener el vector unitario tangencial ( $\hat{\theta}$ ): es decir, por definición, en ángulo recto respecto a $\hat{r}$ con una longitud de 1. Así sabrás que todo lo que tienes que hacer es cambiar las posiciones de $cos(\theta)$ y $sin(\theta)$ en tu 1ª ecuación, y añade un signo menos a uno de ellos (para que el producto punto de estos 2 vectores resultantes sea 0, equivalente a perpendicular). Como definimos el sentido antihorario como la dirección positiva, el signo menos va al vector $\hat{i}$ dirección. Así que aquí está la segunda ecuación: $\hat{\theta} = -sin(\theta) \hat{i} + cos(\theta \hat{j}$ .

6) Si no te gusta el paso (5) manera. Dibuja ese $\hat{\theta}$ en su círculo unitario: partiendo del origen, apuntando hacia el 11-horario (ángulo recto a $\hat{r}$ ) y termina en el círculo unitario (longitud=1). Para llegar a ese punto final moviéndose sólo en las direcciones x- e y-, primero hay que mover $-1\times sin(\theta)$ unidades en x-, entonces $1\times cos(\theta)$ unidades en y-. Se obtiene la misma fórmula.

Para invertir la conversión: de polar a cartesiano, podrías simplemente hacer algo de álgebra pura sobre las 2 ecuaciones que acabamos de derivar, o utilizar la geometría para "moverte hacia" el punto objetivo que deseas derivar.

Answer 2

Los símbolos del lado izquierdo de esas ecuaciones no tienen ningún sentido. Si quisieras cambiar a un nuevo par de coordenadas $(\hat{u}, \hat{v})$ girando un ángulo $\theta$ entonces tendrías $$ \left\{\begin{align} \hat{u} &= (\cos \theta) \hat{\imath} + (\sin \theta)\hat{\jmath} \\ \hat{v} &= (-\sin \theta) \hat{\imath} + (\cos \theta)\hat{\jmath}. \end{align}\right. $$

Answer 3

Yo también me quedé atascado ahí, y encontré la respuesta en un vídeo de YouTube en: http://www.youtube.com/watch?v=WwQTTJdAJP8 . La dificultad que tuve fue confundir la geometría de coordenadas polares, donde x = rcos(theta) etc, con la situación vectorial, donde el radio vector es resuelto en sus componentes en las direcciones x e y, por lo que, aplicando las fórmulas para expresar un vector en términos de sus componentes al caso del vector radial unitario polar, obtenemos la ecuación citada: r^=cos()i^+sin()j^. Adjuntamos una imagen del vídeo que da la geometría de esta ecuación.

Una imagen del momento final del vídeo.

Answer 4

El (punto final del) vector $(\cos\theta,\,\sin\theta)$ está en el círculo unitario, exactamente en el ángulo $\theta$ (si los ángulos se miden desde el $x$ -hacia el eje $y$ eje -). Así, en forma polar, podemos decir $r=1$ y $\theta=\theta$ .

La otra, $(-\sin\theta,\,\cos\theta)$ es su versión rotada, por $+90^\circ$ . Por lo tanto, esto tiene $\hat r=1$ y $\hat\theta=\theta+90^\circ$ .