Demuestre que $a+b+c=0$ implica que $32(a^4+b^4+c^4)$ es un cuadrado perfecto.

Question

Se dan unos números enteros $a, b, c$ satysfaying $a+b+c=0$ . Demuestre que $32(a^4+b^4+c^4)$ es un cuadrado perfecto.

EDIT: He encontrado la solución por polinomios simétricos, que se publica a continuación.

Answer 1

Basta con demostrar que $2(a^4+b^4+c^4)$ es un cuadrado perfecto.

\begin{align} & 2(a^4+b^4+c^4) \\ =& 2((b+c)^4+b^4+c^4) \\ =& 2(2b^4+4b^3c+6b^2c^2+4bc^3+2c^4) \\ =& 4(b^4+\bbox[2px, border:1px solid]{2b^3c}+\bbox[2px, border:1px dashed]{3b^2c^2}+2bc^3+c^4) \\ =& 4((b^4+\bbox[2px, border:1px solid]{b^3c}+\bbox[2px, border:1px dashed]{b^2c^2})+(\bbox[2px, border:1px solid]{b^3c}+\bbox[2px, border:1px dashed]{b^2c^2}+bc^3)+(\bbox[2px, border:1px dashed]{b^2c^2}+bc^3+c^4)) \\ =& 2^2 (b^2(b^2+bc+c^2)+bc(b^2+bc+c^2)+c^2(b^2+bc+c^2))\\ =& 2^2(b^2+bc+c^2)^2 \end{align}

Answer 2

Aunque creo que la solución dada por GNU Supporter es definitivamente más sencilla y elemental que la mía, voy a poner lo que encontré después de hacer la pregunta, ya que podría dar otra perspectiva y alguna idea acerca de lo que uno puede hacer cuando no puede reconocer la fórmula correcta.

Sea $l_i$ denotan polinomio simétrico elemental de grado $i$ y $s_i$ polinomio simétrico de potencia de grado i. Necesitamos demostrar que $l_1=s_1=0$ implica que $32s_4$ es un cuadrado perfecto. Por la Identidad de Newton (pero en caso de tres variables se puede comprobar fácilmente a mano) $s_4=s_3l_1-s_2l_2+s_1l_3$ y $s_2=s_1^2-2l_2$ que por suposición toma la forma $s_4=-s_2l_2=-(s_1^2-2l_2)l_2=(-l_2)(-2l_2)=2l_2^2$ y de esto $32s_4=64l_2^2=(8l_2)^2$ .

Answer 3

EDIT: He encontrado la solución mediante polinomios simétricos (en las variables a, b, c)

A continuación se transcribe más o menos la solución de OP en cálculos directos, sin utilizar explícitamente Las relaciones de Newton . Partiendo de la base de que $a+b+c=0\,$ :

$$ 0 = (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca) $$

$$ \implies 2(ab+bc+ca)=-(a^2+b^2+c^2) \tag{1} $$

$$ \require{cancel} (ab+bc+ca)^2 = a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 + \cancel{2abc(a+b+c) } \tag{2} $$

$$ \begin{align} a^4+b^4+c^4 & = (a^2+b^2+c^2)^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) \\[5px] & \overset{(1),(2)}{=} 4(ab+bc+ca)^2 - 2(ab+bc+ca)^2 \\ & = 2 (ab+bc+ca)^2 \end{align} $$

Este último da $32(a^4+b^4+c^4)=\big(8 (ab+bc+ca)\big)^2\,$ .