¿Cuando dos grupos que tienen el mismo número de elementos de cada pedido son isomorfos? ¿Podemos caracterizarlos? Ya sé que el % de abelian $Z_{p^2}\times Z_p$y no-abelian $Z_{p^2}\rtimes Z_p$ tienen el mismo número de elementos de cualquier orden, sin embargo no son isomorfos. Quiero decir que son dos grupos abelian isomorfos si tienen las mismas órdenes y espectros. ¿o incluso grupos no abelianos?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Mi interpretación de la pregunta es "¿existen los no-isomorfo no abelian grupos $G$ $H$ tal que $|G|=|H|$ y tienen el mismo número de elementos de la misma orden". Esta no es la clasificación de la pregunta, pero sospecho que esta es la pregunta que el OP quiere saber la respuesta a (y se preguntó en la última línea).
Tenga en cuenta que, como leo en los comentarios, la abelian caso es cubierto en otra parte.
La solución a la no-abelian caso es, tal vez, muy fácil. Como el OP señala, no existe abelian y no abelian grupos que tienen el mismo número de elementos de cualquier orden, llame a $A$$B$. Por lo $A$ es abelian, $B$ no es abelian, $|A|=|B|$ y tenemos la condición en el orden de los elementos. La idea es simplemente tome $G=A\times B$$H=B\times B$.
Sin embargo, de la cruz-los productos pueden introducir elementos de los nuevos pedidos (por ejemplo, $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_3\cong\mathbb{Z}_6$), por lo que debemos ser cuidadosos. No estoy diciendo que la construcción no siempre funciona, sino que tendría que demostrar que funciona siempre. Con el fin de conseguir alrededor de esta prueba, tome $B$ a ser el siguiente grupo. $$B=\langle x,y,z; x^3 = y^3 = z^3 = 1, yz = zyx, xy = yx, xz = zx\rangle$$ Este grupo tiene orden de 27 de exponente tres y no es abelian. Para ver esto, usted debe verificar que cada uno de $(yz)^3$, $(y^2z)^3$ y $(yx^2)^3$ definir el elemento trivial. A continuación, tome $A=\mathbb{Z}_3^3$ a ser el grupo abelian de la orden de 27 y exponente de tres. Tomando $G=A\times B$ $H=B\times B$ a resolver el problema!
De EDICIÓN Se pueden encontrar no abelian grupos de orden $p^n$ y el exponente $p$, $p>2$, al considerar el subgrupo $S_n^p$ $GL_n(\mathbb{Z}_p)$ que consiste de la parte superior triangular de matrices, por lo $S_3^p$ se compone de las matrices de la forma siguiente. $$\left( \begin{array}{ccc} 1&\ast&\ast\\ 0&1&\ast\\ 0&0&1 \end{array} \right)$$ El $3\times 3$ matriz de grupos construidos de esta manera son llamados Heisenberg grupos, y su isomorfismo de clase es el de la extra-especial $p$-grupo de exponente $p$. Esto significa que usted puede encontrar un montón de no-isomorfo grupos con las mismas órdenes y los espectros.
