Búsqueda de $\lim\limits_{n \to \infty}{\frac{1^1+2^2+3^3+\cdots+n^n}{n^n}}$

Question

$$\lim_{n \to \infty}{\frac{1^1+2^2+3^3+\cdots+n^n}{n^n}}.$$

Con un primer vistazo a esto debe dar $1$ como un resultado, pero tiene un problema de explicar.

¿Cómo puedo hacerlo?

Editar

Me di cuenta de que es $\frac{\infty}{\infty}$.

$$\lim_{n \to \infty}{n^{n}\frac{(\frac{1^1}{n^{n}}+\frac{2^2}{n^{n}}+\frac{3^3}{n^{n}}+\cdots+1)}{n^n}}= \lim_{n \to \infty}{\frac{1^1}{n^{n}}+\frac{2^2}{n^{n}}+\frac{3^3}{n^{n}}+\cdots+1}=1$$

Es esto correcto?

Answer 1

Podemos escribir $(1^1+2^2+\cdots+n^n)/n^n$$a_n + b_n + 1$, donde $$ a_n = \frac{1^1+2^2+\cdots+(n-2)^{n-2}}{n^n} \text{ y } b_n = \frac{(n-1)^{n-1}}{n^n}. $$ Tanto en $a_n$ $b_n$ son positivas, y también $$ a_n < \frac{(n-2)(n-2)^{n-2}}{n^n} < b_n < \frac{n^{n-1}}{n^n} = \frac1n. $$ El teorema del encaje debe permitir que usted para demostrar que su respuesta de 1 es correcta.

Answer 2

Stolz-Cesàro es probablemente una exageración, pero resuelve el problema fácilmente.

El límite

$$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)^{n+1}-n^n} =1 \,,$$ es muy sencillo de calcular.

Answer 3

Deje $f(n) = (1^1 + 2^2 + 3^3 + \cdots + n^n)/n^n$. Usted desea mostrar a $\lim_{n \to \infty} f(n) = 1$.

Es obvio que $f(n) > 1$ todos los $n$.

Para una cota superior, $$ f(n) \le {1^{n-2} + 2^{n-2} + \cdots + (n-2)^{n-2} \over n^n} + {n^{n-1} \over n^n} + {n^n \over n^n} = {1^{n-2} + 2^{n-2} + \cdots + (n-2)^{n-2} \over n^n} + {1 \over n} + 1.$$

Ahora yo se lo dejo a usted para buscar algunos enlazado $g(n)$, $\lim_{n \to \infty} g(n) = 0$ y $$ {1^{n-2} + 2^{n-2} + \cdots + (n-2)^{n-2} \over n^n} \le g(n). $$ Así que usted tiene $$ 1 < f(n) < 1 + {1 \over n} + g(n) $$ y aplicar el teorema del sándwich para terminar la prueba.

Answer 4

Sé que estoy terriblemente tarde, pero me gustaría publicar una similar, pero un poco diferente de Micheal y Greg enfoque. Plese dime en los comentarios si no es lo suficientemente diferente.

Vamos $$a_n=\frac{1^1+2^2+3^3+\cdots+(n-1)^{n-1}}{n^n}. $$ So we have $$a_{n+1}=\frac{1^1+2^2+3^3+\cdots+(n-1)^{n-1}+n^n}{(n+1)^{n+1}}=\frac{n^n(a_n+1)}{(n+1)^{n+1}}$$ and thus $$\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{a_nn^n}{(n+1)^{n+1}}+\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_nn^n}{(n+1)^{n+1}}.\tag{1}$$ Since $$\lim_{n\to\infty}\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}=0,$$ $(1)$ yields that $a_n$ either converges to $0$ or diverges to $+\infty$. But $$\lim_{n\to\infty}a_n\le\lim_{n\to\infty}\frac{\overbrace{(n-1)^{n-1}+(n-1)^{n-1}+\cdots+(n-1)^{n-1}}^{n-1 \ \text{times}}}{n^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{(n-1)^n}{n^n}=e^{-1}, $$ hence $$\lim_{n\to\infty}a_n=0,$$ which allows us to conclude $$\lim_{n\to\infty}\frac{1^1+2^2+3^3+\cdots+n^n}{n^n}=1.$$