% Que $a$y $m$ ser enteros positivos tales que MCD $(a,m)=1$. Muestran que: $a^m+1$ no es un primo.
Aunque no reviso la declaración con muchos enteros, pero parece que la ecuación nunca devuelve un primer.
Respuesta
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Dylan
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La única contraejemplos a su reclamo son los casos en donde $m=1$ $a+1$ es un número primo, y el caso en que $a=1$ $m$ es cualquier entero positivo.
Si $m$ es impar, entonces usted puede utilizar la factorización $$a^m+1=(a+1)(a^{m-1}-a^{m-2}+a^{m-3}-...-a+1)$$ a la conclusión de que la $a^m+1$ es divisible por $a+1$ y por lo tanto no es primo. (A menos que posiblemente $m=1$ $a+1$ pasa a ser el primer)
Si $m$ es incluso, a continuación, $a$ debe ser impar desde $\gcd(a,m)=1$. Pero, a continuación, $a^m+1$ es aún, y tan sólo puede ser la mejor si es igual a $2$.
Editar
Cabe mencionar que lo anterior muestra que si $a^m+1$ es el primer para algunos $m$ debe ser el caso de que $m$ es una potencia de $2$. (Si $m$ tiene algún divisor impar, entonces se podría utilizar la misma factorización como se usa arriba para encontrar un factor o $a^m+1$) más Allá de esto, sin embargo, muy poco se sabe si dejamos caer su restricción que $\gcd(a,m)=1$.
Si $a=2$, entonces los números que tenemos en cuenta al tomar $m=2^k$ un poder de $2$ son los Números de Fermat. No sabemos si alguno de estos números son primos para $k>4$, y hay en este momento (según el artículo de la Wikipedia) sólo $280$ números de Fermat, que son conocidos por ser compuesto.
No sabemos si hay infinitamente muchos de Fermat números que son primos. Pero aún no sabemos si hay infinitamente muchos de Fermat números que están compuestos, y por supuesto, una de estas dos proposiciones deben ser verdaderas.
El caso general con $a$ como la base es tan difícil de entender. Que yo sepa, no hay un único valor de $a$ para el cual se sabe si hay o no hay una infinidad de números primos de la forma $a^{2^k}+1$. (Otro de los casos donde $a$ es impar o $a$ es un extraño poder de algunos entero, donde el mismo argumento como el de arriba muestra que todos estos valores son compuesto), y la lista de valores de $a$ $k$ para el cual se sabe si $a^{2^k}+1$ es primo o compuesto es tan corto como la lista de los números primos de Fermat.
