Prueba:

Question

Tengo que probar $\vec x \perp \vec z$ y $\vec y \perp \vec z$ implica $\vec x || \vec y$ donde $\vec x,\vec y,\vec z \in \mathbb{R}^2$ y $z$ distinto de cero.

Sé que $x \perp z \Leftrightarrow x_1z_1+x_2z_2=0$ y $y \perp z \Leftrightarrow y_1z_1+y_2z_2=0$. Si dos vectores son paralelos, puedo escribir $\vec x = \alpha \vec y$.

He intentado escribir $x_1z_1+x_2z_2=y_1z_1+y_2z_2$ pero esto no me ayude a encontrar un $\alpha$ $\vec x = \alpha \vec y$ de satisfacer.

¿Alguien tiene una sugerencia para mí?

Answer 1

$\vec x\perp\vec z$: $x_1z_1+x_2z_2=0$

$\vec y\perp\vec z$: $y_1z_1+y_2z_2=0$

Con la notación de matriz: $$ \left (\begin{array}{cc} x_1&x_2\\ y_1&y_2 \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} z_1\\ z_2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0\\ 0 \end{array}\right)$ $

Supongamos que $\vec x,\vec y$ no paralelo. Entonces la matriz es inversible, y esto implica (multiplique ambos lados por la matriz inversa) que $\vec z=0$, que supongo no es el caso.

Answer 2

Si $x=0$ $y$ es degenerately paralelo a $x$ en el sentido de que $0y=x$. Supongamos ahora que $x\neq 0$.

Desde $x$ $z$ son cero y perpendiculares, constituyen una base para $\Bbb R^2$. Eso significa que es posible escribir $y=\alpha x+\beta z$ algunos $\alpha, \beta\in \Bbb R$.

Ahora comprobamos que el producto interior de $y$ $z$ y el uso de los hechos dados que $y\cdot z=0$$x\cdot z=0$:

$$0=y\cdot z=\alpha (x\cdot z) +\beta (z\cdot z)=0+\beta \|z\|^2$$

Desde $z$ es distinto de cero $0=\beta\|z\|^2$ implica $\beta=0$. Así, en la expresión original $y=\alpha x+0$ rendimientos que $y$ es un escalar varios de $x$.

Answer 3

Sugerencia: Si $W$ es un subespacio vectorial de un vector del espacio $V$ entonces % $ $$\dim(W^{\perp})=\dim(V)-\dim(W)$$W^{\perp}$Dónde está el conjunto de todos los vectores perpendiculares a todos los vectores en $V$ $W$

Answer 4

$\mathbb{R}^2$ es un plano dos dimensiones del espacio. Por lo tanto, cualquier dos vectores ortogonales entre sí abarcan una base ortogonal en $\mathbb{R}^2$. Ahora elegir, decir, ${\vec e}_1 ={\vec x}$ y ${\vec e}_2 ={\vec z}$ como vectores de la base de su $\mathbb{R}^2$. Una base de un espacio plano tiene la propiedad de que cualquier vector en el espacio puede ser descompuesto en componentes a lo largo de los vectores de la base (a través de una proyección mediante el producto escalar). Por lo que se puede escribir:

$${\vec y}=\sum_{i=1}^2({\vec y}\cdot{\vec e}_i){\vec e}_i=({\vec y}\cdot{\vec x}){\vec x}+({\vec y}\cdot{\vec z}){\vec z}=({\vec y}\cdot{\vec x}){\vec x}=\alpha{\vec x}$$

Answer 5

Resolver el sistema $$\begin{align} x_1 z_1 + x_2 z_2 &= 0 \\ y_1 z_1 + y_2 z_2 &= 0 \end {Alinee el} $$ $z_1$ y $z_2$, pero tenga en cuenta que $z_1$ y $z_2$ no son ambos cero. Verás, entonces, que debe haber una relación entre la $x_i$y $y_i$; puede provocar a esta relación en el % de forma $x = \alpha y$. (Sugerencia: Si $pq-rs=0$, entonces el $pq=rs=t$ % para algunos $t$.)