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Question

Por lo que para uno mi pregunta del ejercicio es:

$$\int x \sec(x)\,dx$$

He intentado cada manera que puedo pensar. Creo que esto sólo podría hacerse en integración por partes. Mi clase sólo enteramos de tres técnicas que PFD, $u$-integración por partes y sub. Traté de $u = x$, $u = \sec(x)$ y $u = x\sec(x)$, que no ayudan.

Cualquier ayuda sería genial.

Answer 1

Bien, utilizar la identidad:

$$\sec\left(x\right):=\frac{1}{\cos\left(x\right)}=\frac{2}{e^{xi}+e^{-xi}}\tag1$$

Así, obtenemos:

$$\mathcal{I}\left(x\right):=\int x\sec\left(x\right)\space\text{d}x=2\int\frac{x}{e^{xi}+e^{-xi}}\space\text{d}x=2\int\frac{xe^{xi}}{1+e^{2xi}}\space\text{d}x\tag2$$

Ahora, substittue $\text{u}=xi$:

$$2\int\frac{xe^{xi}}{1+e^{2xi}}\space\text{d}x=-2\int\frac{\text{u}e^\text{u}}{1+e^{2\text{u}}}\space\text{d}\text{u}\tag3$$

Ahora, sustituto de $\text{v}=e^\text{u}$:

$$-2\int\frac{\text{u}e^\text{u}}{1+e^{2\text{u}}}\space\text{d}\text{u}=-2\int\frac{\ln\left(\text{v}\right)}{1+\text{v}^2}\space\text{d}\text{v}\tag4$$

Ahora, sabemos que:

$$1+\text{v}^2=\left(\text{v}-i\right)\left(\text{v}+i\right)\tag5$$

Por lo tanto, utilizando la fracción parcial descomposición:

$$-2\int\frac{\ln\left(\text{v}\right)}{1+\text{v}^2}\space\text{d}\text{v}=-2\int\frac{\ln\left(\text{v}\right)}{\left(\text{v}-i\right)\left(\text{v}+i\right)}\space\text{d}\text{v}=i\left\{\int\frac{\ln\left(\text{v}\right)}{\text{v}-i}\space\text{d}\text{v}-\int\frac{\ln\left(\text{v}\right)}{\text{v}+i}\space\text{d}\text{v}\right\}\tag6$$