Encontrar una base para la extensión de campo $\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt[3]{4})$

Question

Este es el ejercicio A4 en el capítulo 29 de Pinter es Un Libro de Álgebra Abstracta. No es la tarea, pero las sugerencias/hoja de ruta sería la opción preferida para una solución completa, por ahora.

Primero un poco de contexto

El libro funciona el ejemplo de $\mathbb{Q}(\sqrt{1+\sqrt[3]{2}})$. Si $a = \sqrt{1+\sqrt[3]{2}}$$a^2-1 = \sqrt[3]{2}$, por lo que el $\sqrt[3]{2} \in \mathbb{Q}(a)$, del que se desprende que $\mathbb{Q}(a) = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},a)$. Entonces juntamos $\sqrt[3]{2}$ $a$ $\mathbb{Q}$en orden.

El campo $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ es una extensión de grado $3$ $\mathbb{Q}$ con base $\{1,2^{1/3},2^{2/3}\}$. Desde $x^2-1-\sqrt[3]{2}$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$, el campo de $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},a)$ es una extensión de grado $2$ $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ con base $\{1,a\}$. Por lo tanto $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},a)$ es una extensión de grado $6$ $\mathbb{Q}$ con base $\{1,2^{1/3},2^{2/3},a,a 2^{1/3},a 2^{2/3}\}$.

La pregunta en cuestión

Tengo que encontrar una base para la extensión de campo $\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt[3]{4})$.

Una sugerencia: Esto es similar para el caso de $\mathbb{Q}(\sqrt{1+\sqrt[3]{2}})$. Se acuestan por primera $\sqrt[3]{4}$,$a$.

No estoy seguro de si el $a$ en la sugerencia se refiere a la misma $a$, como en el ejemplo o si se refiere a $\sqrt{2}+\sqrt[3]{4}$.

Ingenuamente me calculada

$$ \left(\sqrt{2}+\sqrt[3]{4}\right)^2 = 2 + 2 \sqrt{2} \sqrt[3]{4} + \left(\sqrt[3]{4}\right)^2 $$

y

$$ \left(\sqrt{2}+\sqrt[3]{4}\right)^3 = 4 + 2\sqrt{2} + 6 \sqrt[3]{4} + 3\sqrt{2}\left(\sqrt[3]{4}\right)^2, $$

pero yo no estoy viendo cómo combinar estos para mostrar que $\sqrt[3]{4} \in \mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt[3]{4})$, lo que me permitiría seguir los pasos del ejemplo.

Answer 1

Denotar $u=\sqrt2+\sqrt[3]4$. Entonces usted tiene $$\begin{align} u-\sqrt2&=\sqrt[3]4\\ u^3-3u^2\sqrt2+6u-2\sqrt2&=4\\ u^3+6u-4&=(3u^2+2)\sqrt2\\ \sqrt2&=\frac{u^3+6u-4}{3u^2+2}\in\mathbb Q(u) \end{align}$$ Tenga en cuenta que $3u^2+2>0$, por lo tanto podemos dividir este número. De $\sqrt2\in\mathbb Q(u)$ sigue también a $\sqrt[3]4\in\mathbb Q(u)$.

Tenga en cuenta también que por el cuadrado de la ecuación de $u^3+6u-4=(3u^2+2)\sqrt2$ tenemos $$\begin{align} u^6+12u^4-8u^3+36u^2-48u+16&=(9u^4+12u^2+4)2\\ u^6-6u^4-8u^3+12u^2-48u+8&=0 \end{align}$$ Si podemos mostrar que $[\mathbb Q(u):\mathbb Q]=6$, $x^6-6x^4-8x^3+12x^2-48x+8$ debe ser el mínimo polinomio.

Esto también se puede comprobar en WolframAlpha.

Muy enfoque similar fue utilizado en una respuesta a esta pregunta: Encontrar el polinomio mínimo de a$\sqrt 2 + \sqrt[3] 2$$\mathbb Q$.

Otro posible enfoque sería que expresan algunas de las facultades de $u$ como combinaciones lineales de $1$, $2^{1/6}$, $2^{1/3}$, $2^{1/2}$, $2^{2/3}$, $2^{5/6}$ y, a continuación, tratar de encontrar no trivial de la combinación lineal que produce cero. (De nuevo, usted puede echar un vistazo a los enlaces pregunta de este enfoque para $\sqrt2+\sqrt[3]2$.)