Simplicial de la copa del producto en toro

Question

Estoy tratando de calcular el simplicial de la copa del producto en el toro (el uso de $\Delta$-complejos), pero la ejecución en un problema: cada forma de dibujar el fundamental polígono puedo obtener diferentes respuestas! Cuando la saqué como Hatcher en 2.1, y etiquetar los vértices de abajo a la izquierda,

         

(imagen original)

Puedo obtener la respuesta correcta, pero me da la respuesta equivocada cuando se utiliza la triangulación de la derecha (o cualquier otro que he probado). ¿Por qué está sucediendo esto? Lo que es especial acerca de Hatcher la triangulación?

Edit: Vamos a $\alpha$ $\beta$ generar $H^1(X; \mathbf{Z})$, doble a$a$$b$, respectivamente, y vamos a $\varphi$, $\psi$ ser representante cochains. A continuación, utilizando la triangulación de la derecha, me sale $$\alpha \smallsmile\alpha(A) = \varphi(A|[01])\varphi(A|[13]) = \varphi(a)\varphi(c) = 1$$ where $Una$ es la parte superior de 2-simplex, y esto ya es malo.

Answer 1

El problema es que se realiza una operación que "no permitido": La copa del producto $\alpha\smile\alpha$ es un cohomology de clase en $H^2(X;\mathbb Z)$. Ahora este tipo de clase se determina sólo hasta coboundaries: Si $φ$ $\psi$ representan la misma clase, a continuación, $φ-\psi$ es un coboundary, y eso significa que se desvanece en los ciclos. Así que si $C$ es un ciclo en $C_2(X)$,$φ(C)=\psi(C)$. No podemos esperar a que $φ$ $\psi$ a un acuerdo sobre ordinario simplices, como el triángulo superior $A$ en la parte derecha del diagrama. Así que no debemos aplicar un cohomology de la clase ordinaria de la cadena, pero sólo para los ciclos, o a la homología de las clases.
En el ciclo de $A-B$, $α⌣α$ da $0$, ya que el $α(A)=α(B)=-1$ (me estoy tomando la $-1$ en lugar de $1$ ya que en mi cálculo de la cocycle $φ$ en representación $\alpha$ mapas de $a$ a $1$, $c$ a $-1$, e $b$$0$, y creo que un $φ$ que envía a $c$ $1$sólo funciona si $c$ puntos en la dirección opuesta).