Cuando las funciones de conmutar en virtud de la composición

Question

Hoy estaba pensando acerca de la composición de funciones. Ella tiene buenas propiedades, siempre es asociativa, no es una identidad, y si nos restringimos a bijective funciones, entonces tenemos una relación inversa.

Pero entonces pensé en conmutatividad. Mi primera impresión fue que bijective auto mapas de un espacio debe conmutar pero luego vi algunos ejemplos de lo contrario. El grupo simétrico es sólo abelian si $n \le 2$, por lo que claramente debe haber más restricciones en las funciones de bijectivity para ellos para viajar.

Los únicos ejemplos de lo que podía pensar eran las cosas aburridas como la multiplicación por una constante o máxima tori de grupos como $O(n)$ (tal vez menos aburrido).

Mi pregunta: En un espacio euclidiano, ¿cuáles son (editar) algunas buenas caracterizaciones de los conjuntos de funciones que ir a trabajar? Lo que acerca de una manera más general el espacio?

Bono: Es esta noción de la conmutatividad importante en cualquier lugar en el análisis?

Answer 1

Un clásico resultado de Ritt muestra que los polinomios que se desplazan bajo la composición debe ser, hasta un lineal homeomorphism, tanto de los poderes de $x$, tanto repite el mismo polinomio, o ambos polinomios de Chebychev. En realidad Ritt resultó más general de la función racional caso de seguir el enlace. Su trabajo fue motivado por el trabajo de Julia y Fatou del trabajo en conjuntos de Julia de funciones racionales, por ejemplo, ver aquí para una presentación moderna.

Answer 2

Según la Wikipedia, un conjunto de diagonalizable matrices conmutan si y sólo si son simultáneamente diagonalizable. Hay un gran alcance a la generalización, es decir, la Gelfand teorema de representación.

El Gelfand representación teorema para conmutativa $C^*$ álgebras representa cada conmutativa $C^*$ álgebra como un álgebra de funciones con pointwise multiplicación; el dominio de este último el álgebra es el espectro de la ex álgebra.

Answer 3

Esta pregunta también puede ser relacionada a cómo ciertas comportamiento de las funciones en virtud de las funciones de sus variables. En este contexto, la propiedad de los desplazamientos con operadores binarios, tales como la adición y la multiplicación, puede ser utilizado para definir las clases de funciones:

1. aditivo de conmutación: si $g(x, y) = x + y$, $f\big(g(x, y)\big) = g\big(f(x),\ f(y)\big)$ si y sólo si $f(x + y) = f(x) + f(y)$ $f$ es homogénea función lineal de la forma $f(x; a) \equiv ax$

2. multiplicativa de conmutación: si $g(x, y) = xy$, $f\big( g(x, y) \big) = g\big(f(x),\ f(y)\big)$ si y sólo si $f(xy) = f(x)f(y)$ $f$ es de la "escala invariante", es decir, una ley de potencia de la forma $f(x; a) \equiv x^a$

3. log-aditivo de conmutación: si $g(x, y) = x + y$, $\log f\big( g(x, y) \big) = g\big( \log f(x),\ \log f(y) \big)$ si y sólo si $f(x + y) = f(x)f(y)$ $f$ es una función exponencial de la forma $f(x; a) \equiv \exp(ax)$

El último elemento (3) supone un tercio de la función (el logaritmo de) que cuando se denota como $h$ da

$h\big(f[g(x, y)]\big) = g\big(h[f(x)],\ h[f(y)]\big)$

o

$h \circ f \circ g(x, y) = g\big(h \circ f(x),\ h \circ f(y)\big).$

Desde $h \circ f$ se produce en ambos lados, podemos denotar esta como $\tilde f$ para obtener

$\tilde f \big( g(x, y) \big) = g \big( \tilde f(x), \tilde f(y) \big)$

que tiene la misma forma que el punto (1) anterior. Desde esta perspectiva, los puntos (1) y (3) puede ser visto como ser isomorfo bajo el $\exp$ $\log$ par de invertible asignaciones.