La mejor manera de explicar la $\sqrt{2\pi n}$ plazo en Stirling?

Question

Hace poco me mostraron mi Algoritmos de clase cómo enlazado $\ln n! = \sum \ln n$ por integrales, obteniendo de este modo la simple aproximación factorial

$$ e \left(\frac{n}{e}\right)^{n} \leq n! \leq en\left(\frac{n}{e}\right)^{n} $$

Pero uno de los estudiantes, después de haber visto a Stirling aproximación, pidió que el $\sqrt{2 \pi n}$ término viene de en

$$ n! \sim \left(\frac{n}{e}\right)^n \sqrt{2 \pi n} $$

lo que yo no podía fácilmente la respuesta. Mirando a su alrededor, no puedo encontrar un sencillo e intuitivo explicación. Puede alguien explicar esto en términos comprensibles para una Ciencia de la computación licenciatura (es decir, no hay análisis más allá del primer año de cálculo)?

Answer 1

Esta entrada de blog por Terence Tao, se explica cómo obtener esta constante desde el teorema del límite central (lo que es equivalente, a partir de la normalización factor que usamos para definir la distribución normal). La pregunta sigue siendo de donde vino el teorema central del límite, y creo que lo más honesto respuesta a esa pregunta es el análisis de Fourier; $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ es la normalización de los factores que hace que la transformada de Fourier y su inversa el mismo aspecto, y la distribución de Gauss es su propia transformada de Fourier.

(Que es, no creo que usted debe buscar un sencillo e intuitivo explicación porque creo que este es en realidad un lugar profundo hecho de que en realidad no es explicado en la mayoría de los cursos. Por otro lado, sólo el $\sqrt{n}$ plazo es sencillo de explicar: en lugar de utilizar la izquierda suma de Riemann o el derecho a la suma de Riemann, utilice el trapecio, regla).

Answer 2

Una forma es aplicar Euler-McLaurin de Totalización (que puede ser visto como una aplicación inteligente de las repetidas integración por partes) a $\displaystyle \log x$ a mostrar que

$$n! \sim C \sqrt{n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$$

A continuación, utilice Wallis fórmula (otra aplicación inteligente de integración por partes)

$$\frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \times \frac{2}{3} \times \frac{4}{3} \times \frac{4}{5} \dots $$

para mostrar que $\displaystyle C = \sqrt{2\pi}$.

Si recuerdo correctamente, esta es la forma en que este se deriva históricamente.

Por supuesto, esto no da una razón intuitiva de por qué la constante es $\displaystyle \sqrt{2\pi}$

Answer 3

Si quieres ver la conexión entre el término $\sqrt{\pi}$ y factorial, se explica en los términos geométricos, Se puede ver Knuth la conferencia titulada ¿por Qué Pi?

Answer 4

No estoy exactamente seguro de cómo mucho análisis es cubierto por el primer año de cálculo, pero esta es probablemente la más corta de la prueba, conozco de este hecho. No se puede ir muy lejos en términos de hacer este intuitivo, sin embargo, y no sé que esto puede ser hecho en absoluto.

Answer 5

Yo creo que el más intuitivo explicación de este factor es la masa total de una Gaussiana integral en la evaluación de la stirling formual por medio de más brusco descenso en la función Gamma con la definición de integral. Véase, por ejemplo, en el artículo 2.4 de la siguiente conferencia de la nota.