He visto una interesante explicación para muchos de lo que se pensaba anteriormente estaban desmotivados definiciones en la mecánica Newtoniana, es decir, que el poder es siempre definido como el esfuerzo de los tiempos de flujo. Pero cuando tratamos de definir el poder en la dinámica obviamente se necesita para lidiar con los vectores, de ahí mi pregunta : ¿cómo es el producto escalar de la buena generalización de la multiplicación en $\mathbb{R}$ a un espacio? ¿Por qué no cualquier otro producto interior en $\mathbb{R}^3$, que se reduce a la multiplicación en $\mathbb{R}$? Sé que es una especie de la canónica producto interior en $\mathbb{R}^3$, tiene algo que hacer con él?
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fgregg
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Hay un poco más de pensamiento detrás diciendo que $P=\vec F \cdot \vec v$ que es ser un generalizado de la multiplicación en 3D. Incluso hay casos donde la multiplicación con escalares se convierte en una cruz de producto cuando el uso de vectores 3D. Por ejemplo, el par $T=Fr$, se convierte en $\vec T = \vec r \times \vec F$. Siempre que la aplicación de los vectores en las ecuaciones escalares, usted necesita tener cuidado en decidir cómo implementar la "dirección" en la ecuación.
Por el poder, es importante tener en cuenta exactamente lo que la potencia es: el poder es igual a la fuerza multiplicada por la componente de la velocidad en la misma dirección que la fuerza. En puramente 1D problemas, la fuerza es siempre en la misma u opuesta dirección, por lo que un signo más o menos es todo lo que se necesita para estudiar dirección. En las dimensiones superiores, es más complicado. Dicen que tenemos los vectores de fuerza y velocidad $\vec F$$\vec v$. De ser un problema de dimensiones mayores que 1, la fuerza y los vectores de velocidad no son necesariamente en la misma dirección. Así que, digamos que un ángulo $\theta$ separa los dos vectores. Si es así, la componente escalar de la velocidad en la dirección de la fuerza, el uso de la trigonometría, es $\left| \vec v \right| \cos\theta$. Así, esto significa que la potencia es igual a:
$$P = \left| \vec F \right| \left| \vec v \right| \cos\theta$$
Luego, mirando el lado derecho, se puede ver cómo coincide con la definición del producto escalar: $\left| \vec a \right| \left| \vec b \right| \cos\theta = \vec a \cdot \vec b$, $\theta$ siendo el ángulo entre los dos vectores. Por lo tanto, hemos obtenido:
$$P=\vec F \cdot \vec v$$
Así, es por examinar algunos de los aspectos de la dirección de los vectores de interés que se obtiene la ecuación vectorial, más que el producto escalar de ser una generalización matemática de la multiplicación escalar.
Kevin Zhou
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Es cierto que hay muchas interior de los productos que usted puede elegir en $\mathbb{R}^3$. Sin embargo, la física de los suministros adicionales principio de invariancia rotacional: el resultado no debe depender de nuestro sistema de coordenadas. Ahora, cualquier producto interior de vectores $a$ $b$ puede ser escrito como $$a \cdot b = a^T M b$$ para una matriz de $M$. La invariancia rotacional nos dice que $M$ debe buscar el mismo en una rotación del sistema de coordenadas, por lo que $$M = R^T M R$$ para cualquier matriz de rotación $R$. Es sencillo mostrar sólo una matriz satisface esta condición: la identidad, a veces una constante. Para reducir correctamente a la 1D caso, la constante debe ser 1, únicamente especificando $$a \cdot b = a^T b.$$ Esta es la norma interna del producto.
Tenga en cuenta que si dejamos que el producto de los vectores a la salida de otro vector, $M$ se convierte en un tensor de rango 3, y este mismo argumento muestra que el $M$ es la de Levi-Civita tensor, dando la cruz del producto.
