Grupo abelianization

Question

Me preguntaba si alguien me podría dar una interpretación intuitiva de lo que hemos hecho después de abelianizing un grupo.

Yo sé lo que la definición formal es: una vez que tenemos nuestro grupo de $G$, tomamos un cociente por el colector subgrupo $[G,G]$ donde $[G,G]$ es el único menor subgrupo normal $N$ tal que $G/N$ es abelian.

Pero quién garantiza que este es abelian?

También me preguntaba ¿por qué es tan útil si de hecho tenemos más débiles (los más pobres) grupo que en el primero.

Answer 1

Digamos que tengo un nonabelian grupo $G$, y me quieren "hacer abelian". Intuitivamente, lo que significa que siempre que $g,h\in G$, quiero $gh$ a ser el mismo que $hg$.

Tenga en cuenta que un caso particular es que yo te quiero cada elemento de la forma $ghg^{-1}h^{-1}$ a ser la identidad. Curiosamente, esto es todo que tengo que hacer! Si $ghg^{-1}h^{-1}=e$ todos los $g, h\in G$, $G$ es abelian: $$ghg^{-1}h^{-1}=e\implies ghg^{-1}=h\implies gh=hg.$$ de Modo que esto nos dice:

Con el fin de hacer " $G$ abelian," es suficiente para "hacer de cada colector trivial". Y, por el contrario, si puedo "hacer $G$ abelian" voy a "hacer de cada colector trivial" - así que estos son la misma tarea.

Ahora esto sugiere una cosa que hacer: mirar el grupo cociente obtenido por el modding a cabo por el colector subgrupo! Intuitivamente, esto debe ser el grupo que es la "abelian versión" de $G$. Por supuesto, esto depende de que el colector de un subgrupo de ser normal . . .

. . . ¡y lo es! Así que es bueno.

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Ahora queremos comprobar que todo ha funcionado correctamente. Vamos a decir $a, b\in G/Comm(G)$. Elegir los representantes de la $g, h$ $a, b$ respectivamente (recuerde que $a, b$ son clases de equivalencia de los elementos de $G$). Ahora tenemos $$gh=hg(g^{-1}h^{-1}gh),$$ and $hg(g^{-1}h^{-1}gh)\equiv hg$ in the quotient group (since their difference is a commutator); so $gh$ - which is a representative of $ab$ - is equivalent in the quotient group to $hg$ - which is a representative of $ba$. So $ab=ba$.

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Por separado preguntó

¿Por qué es tan útil si de hecho tenemos más débiles (los más pobres) grupo que en el primero?

Bueno, este es un hecho general sobre estructuras matemáticas - sólo porque la estructura es "menor que" de otro no significa que sea menos interesante, y de hecho los cocientes y subestructuras de una estructura dada, puede ser extremadamente útil en el análisis. Además, específicos cociente de construcciones, como la abelianization se muestran en otros contextos; un buen ejemplo de esto es el hecho de que el primer grupo de homología es la propiedad conmutativa de la versión de el grupo fundamental (véase esta cuestión para más detalles).

Y hay contextos en los que tenemos una natural algebraico de estructura, pero sólo estamos interesados (por el momento) en determinados aspectos. A veces, por ejemplo, para un contexto particular, podemos estar interesados solamente en la no-torsión parte de un grupo. (Énfasis en que a veces, por el camino; otras veces, la torsión parte es muy importante!). Básicamente, "truncar" una estructura matemática permite "foco" en el comportamiento de los que te preocupan. A veces esto es una cosa que usted quiere hacer. A veces no lo es.