Probabilidad de la diferencia de variables aleatorias

Question

¿Cómo puedo calcular esta probabilidad? No sé qué hacer ya que se trata de dos variables aleatorias.

Que $X$ $Y$ ser uniforme variables aleatorias en $(0,1)$. ¿Cómo puedo calcular esto?

$$ P (| X-Y | < 0,25). $$

He intentado hacerlo usando una integral $$ \int_0^1 P (| X-y | \,dy < 0,25) $$

pero no sé qué hacer.

Edit: me olvidé de mencionar la independencia de las variables aleatorias. Gracias por la advertencia.

Answer 1

Sugerencia: para calcular una respuesta, usted tendrá que hacer una suposición. Natural es que $X$ $Y$ son independientes. Tal vez que se incluyó en la pregunta, y se olvidó de mencionar. O tal vez era (por error) a la izquierda.

Suponiendo independencia, el par $(X,Y)$ tiene una distribución uniforme en la plaza. Por lo que la función de densidad conjunta es $1$ en la plaza, y $0$ fuera.

La respuesta es entonces $$\iint_A 1\,dy\;dx,$$ donde $A$ es la parte de la plaza donde $|x-y|<0.25$, o si lo desea, $\le 0.25$, no hace ninguna diferencia para la respuesta.

Ahora podemos hacer la integración, tal vez por la expresión de nuestro doble integral como una integral iterada. Pero hay una manera mucho más sencilla de resolver el problema. Estamos integrando $1$$A$, por lo que el resultado es el área de $A$.

Dibujar la región $A$ cuidadosamente. Después de hacer eso, no resulta difícil encontrar su área. No hay integración, solo lo básico de la geometría.

Comentario: A ver que tenemos algún tipo de suposición acerca de la $X$$Y$, vamos a $X$ estar distribuidos de manera uniforme en $(0,1)$, y deje $Y=X$. A continuación, $X$ $Y$ satisfacen las condiciones del problema como se ha dicho, pero mucho no independiente. Está claro que $P(|X-Y|<0.25)=1$.

Answer 2

Para acompañar André: respuesta:

Nota: $$|Y-X|\le {1\over4}\iff\ \color{darkgreen}{ X-{1\over 4}}\le\ Y\le \color{maroon}{X+{1\over4}}.$$

---

Como André deja en claro en su respuesta, usted necesita para calcular $$ \int\kern-4pt\int_A 1 dy\,dx $$ donde $A$ es la región de color de rosa por encima. La mejor manera de hacer esto directamente, si imaginativo (ver el final de André comentario de abajo), es dividir a las $A$ en tres piezas:

y integrar sobre cada pieza, a continuación, agregue las tres integrales juntos.

Vamos a configurar la integral doble sobre la luz verde de la región:

Usted puede imaginar que la luz verde de la región se genera como la línea de $\color{darkgreen}{\ell_x}$ a lo largo de la región, comenzando en $x=1/4$ y terminando en $x=3/4$. Los límites de integración para el interior de la integral será a partir de la parte inferior de $\ell_x$ (es decir,$x-1/4$) a la parte superior de $\ell_x$ (es decir,$x+1/4$). Aquí, nos integramos con respecto a $y$ (nosotros "añadir los valores de la función a través de la línea $\ell_x$"): $$ \int_{x-1/4}^{x+{1/4}} 1\,dy. $$ Ahora podemos integrar la expresión anterior con respecto a $x$ $\ell_x$ va desde su extremo izquierdo valor de $x=1/4$ a su derecha más valor $x=3/4$: $$ \int_{1/4}^{3/4}\int_{x-1/4}^{x+{1/4}} 1\,dy\,dx. $$

Así que esa es la integral sobre la luz verde de la región.

Lo voy a dejar a usted para evaluar la integral y a establecer y evaluar las integrales para las otras dos regiones (pero si usted necesita ayuda, por favor pregunte).