¯D∩S es el subconjunto cerrado más pequeño que contiene D∩S . Si S⊂D entonces D∩S=S y como ¯S=S tenemos ¯D∩S=¯S=S .
Sin embargo, si S⊄ la respuesta es menos clara. Ciertamente, \overline{D\cap S} \subset S en ese caso. La respuesta de igualdad depende de la topología particular.
Por ejemplo \Omega = [0,1] con la topología dada por la ordenación de los números reales. Si D=[0,1) y S = \{1\} vemos que \overline D = [0,1] pero D \cap S = \emptyset .
Sin embargo, si tenemos el conjunto \Omega=\{1,2,3,4\} con la topología \tau =\{ \emptyset, \{1,2\}, \{3,4\}, \Omega\} podemos tener una respuesta diferente. Supongamos que S = \{1,2\} . Este es un conjunto abierto, y su complemento es \{3,4\} que también está abierto. Así, S está cerrado. Si dejamos que D=\{1,3\} entonces \overline{D}=\Omega desde \Omega es el conjunto cerrado más pequeño que contiene D . Ahora también tenemos D \cap S = \{1\} y \overline{ D\cap S} = \{1,2\} = S desde S es el subconjunto cerrado más pequeño que contiene \{1\} .
(Añadido después de la edición de la pregunta)
En cuanto a la cuestión del espacio de Hilbert. La afirmación tampoco es válida en este caso.
Dejemos que e^x sea un elemento de L^2[0,1] y supongamos S=span\{e^x\} . Se trata de un subespacio de dimensión finita y, por tanto, cerrado. Si dejamos que D consiste en todos los polinomios, entonces \overline{D}=L^2[0,1] . Sin embargo, D\cap S=\{0\} y \overline{D \cap S}=\{0\} .