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Densidad: Espacio cerrado

Necesito esto como lema.

Espacio topológico

Dado un espacio topológico Ω .

Consideremos un espacio cerrado: \mathcal{S}\subseteq\Omega:\quad\mathcal{S}=\overline{\mathcal{S}}

Entonces, para los dominios densos: \mathcal{D}\subseteq\Omega:\quad\overline{\mathcal{D}}=\Omega\implies\overline{\mathcal{D}\cap\mathcal{S}}=\mathcal{S}

¿Esto se sostiene realmente?

Espacio de Hilbert

Dado un espacio de Hilbert \mathcal{H} .

Consideremos un espacio cerrado: \mathcal{S}\leq\mathcal{H}:\quad\mathcal{S}=\overline{\mathcal{S}}

Entonces, para los dominios densos: \mathcal{D}\leq\mathcal{H}:\quad\overline{\mathcal{D}}=\mathcal{H}\implies\overline{\mathcal{D}\cap\mathcal{S}}=\mathcal{S}

¿Esto es válido aquí?

Reducir el espacio

Dado un espacio de Hilbert \mathcal{H} .

Consideremos un espacio cerrado: \mathcal{S}\leq\mathcal{H}:\quad\mathcal{S}=\overline{\mathcal{S}}

Denota su proyección: \mathcal{R}P=\mathcal{S}:\quad P^2=P=P^*

Considera un dominio reductor: P\mathcal{D}\subseteq\mathcal{D}\leq\mathcal{H}

Entonces el dominio denso: \overline{\mathcal{D}}=\mathcal{H}\implies\overline{\mathcal{D}\cap\mathcal{S}}=\mathcal{S}

¿Se mantiene esto ahora?

8voto

David C. Ullrich Puntos 13276

No. Considera \Omega=\mathbb R (con la topología habitual), S=\{\pi\} , \mathcal D=\mathbb Q .

EDIT: A continuación vino la pregunta "Vale, ¿qué pasa con los subconjuntos cerrados de un espacio de Hilbert?

No hay cambios. Diga H=L^2([0,1]) , \mathcal D=C([0,1]) y que S sea el tramo de f , donde f es cualquier discontinuo L^2 función. (O más bien, donde f es tal que no existe un continuo g con f=g casi en todas partes).

4voto

Stavros Puntos 602

\overline{D\cap S} es el subconjunto cerrado más pequeño que contiene D \cap S . Si S \subset D entonces D \cap S = S y como \overline{S} = S tenemos \overline{D \cap S} = \overline{S} = S .

Sin embargo, si S \not \subset D la respuesta es menos clara. Ciertamente, \overline{D\cap S} \subset S en ese caso. La respuesta de igualdad depende de la topología particular.

Por ejemplo \Omega = [0,1] con la topología dada por la ordenación de los números reales. Si D=[0,1) y S = \{1\} vemos que \overline D = [0,1] pero D \cap S = \emptyset .

Sin embargo, si tenemos el conjunto \Omega=\{1,2,3,4\} con la topología \tau =\{ \emptyset, \{1,2\}, \{3,4\}, \Omega\} podemos tener una respuesta diferente. Supongamos que S = \{1,2\} . Este es un conjunto abierto, y su complemento es \{3,4\} que también está abierto. Así, S está cerrado. Si dejamos que D=\{1,3\} entonces \overline{D}=\Omega desde \Omega es el conjunto cerrado más pequeño que contiene D . Ahora también tenemos D \cap S = \{1\} y \overline{ D\cap S} = \{1,2\} = S desde S es el subconjunto cerrado más pequeño que contiene \{1\} .


(Añadido después de la edición de la pregunta)

En cuanto a la cuestión del espacio de Hilbert. La afirmación tampoco es válida en este caso.

Dejemos que e^x sea un elemento de L^2[0,1] y supongamos S=span\{e^x\} . Se trata de un subespacio de dimensión finita y, por tanto, cerrado. Si dejamos que D consiste en todos los polinomios, entonces \overline{D}=L^2[0,1] . Sin embargo, D\cap S=\{0\} y \overline{D \cap S}=\{0\} .

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