Densidad: Espacio cerrado

Question

Necesito esto como lema.

Espacio topológico

Dado un espacio topológico $\Omega$ .

Consideremos un espacio cerrado: $$\mathcal{S}\subseteq\Omega:\quad\mathcal{S}=\overline{\mathcal{S}}$$

Entonces, para los dominios densos: $$\mathcal{D}\subseteq\Omega:\quad\overline{\mathcal{D}}=\Omega\implies\overline{\mathcal{D}\cap\mathcal{S}}=\mathcal{S}$$

¿Esto se sostiene realmente?

Espacio de Hilbert

Dado un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ .

Consideremos un espacio cerrado: $$\mathcal{S}\leq\mathcal{H}:\quad\mathcal{S}=\overline{\mathcal{S}}$$

Entonces, para los dominios densos: $$\mathcal{D}\leq\mathcal{H}:\quad\overline{\mathcal{D}}=\mathcal{H}\implies\overline{\mathcal{D}\cap\mathcal{S}}=\mathcal{S}$$

¿Esto es válido aquí?

Reducir el espacio

Dado un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ .

Consideremos un espacio cerrado: $$\mathcal{S}\leq\mathcal{H}:\quad\mathcal{S}=\overline{\mathcal{S}}$$

Denota su proyección: $$\mathcal{R}P=\mathcal{S}:\quad P^2=P=P^*$$

Considera un dominio reductor: $$P\mathcal{D}\subseteq\mathcal{D}\leq\mathcal{H}$$

Entonces el dominio denso: $$\overline{\mathcal{D}}=\mathcal{H}\implies\overline{\mathcal{D}\cap\mathcal{S}}=\mathcal{S}$$

¿Se mantiene esto ahora?

Answer 1

No. Considera $\Omega=\mathbb R$ (con la topología habitual), $S=\{\pi\}$ , $\mathcal D=\mathbb Q$ .

EDIT: A continuación vino la pregunta "Vale, ¿qué pasa con los subconjuntos cerrados de un espacio de Hilbert?

No hay cambios. Diga $H=L^2([0,1])$ , $\mathcal D=C([0,1])$ y que $S$ sea el tramo de $f$ , donde $f$ es cualquier discontinuo $L^2$ función. (O más bien, donde $f$ es tal que no existe un continuo $g$ con $f=g$ casi en todas partes).

Answer 2

$\overline{D\cap S}$ es el subconjunto cerrado más pequeño que contiene $D \cap S$ . Si $S \subset D$ entonces $D \cap S = S$ y como $\overline{S} = S$ tenemos $\overline{D \cap S} = \overline{S} = S$ .

Sin embargo, si $S \not \subset D$ la respuesta es menos clara. Ciertamente, $\overline{D\cap S} \subset S$ en ese caso. La respuesta de igualdad depende de la topología particular.

Por ejemplo $\Omega = [0,1]$ con la topología dada por la ordenación de los números reales. Si $D=[0,1)$ y $S = \{1\}$ vemos que $\overline D = [0,1]$ pero $D \cap S = \emptyset$ .

Sin embargo, si tenemos el conjunto $\Omega=\{1,2,3,4\}$ con la topología $\tau =\{ \emptyset, \{1,2\}, \{3,4\}, \Omega\}$ podemos tener una respuesta diferente. Supongamos que $S = \{1,2\}$ . Este es un conjunto abierto, y su complemento es $\{3,4\}$ que también está abierto. Así, $S$ está cerrado. Si dejamos que $D=\{1,3\}$ entonces $\overline{D}=\Omega$ desde $\Omega$ es el conjunto cerrado más pequeño que contiene $D$ . Ahora también tenemos $D \cap S = \{1\}$ y $\overline{ D\cap S} = \{1,2\} = S$ desde $S$ es el subconjunto cerrado más pequeño que contiene $\{1\}$ .

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(Añadido después de la edición de la pregunta)

En cuanto a la cuestión del espacio de Hilbert. La afirmación tampoco es válida en este caso.

Dejemos que $e^x$ sea un elemento de $L^2[0,1]$ y supongamos $S=span\{e^x\}$ . Se trata de un subespacio de dimensión finita y, por tanto, cerrado. Si dejamos que $D$ consiste en todos los polinomios, entonces $\overline{D}=L^2[0,1]$ . Sin embargo, $D\cap S=\{0\}$ y $\overline{D \cap S}=\{0\}$ .