Deje $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ ser un almacén de dominio. Supongamos que $p\in (1,\infty)$. Supongamos que la secuencia de $u_n\in L^p(\Omega)$ satisface:
No es $u,w\in L^p(\Omega)$ tal que $u_n\to u$.e. en $\Omega$ $u_n$ débilmente convergen hacia el w en $L^p(\Omega)$. Podemos concluir que el $u=w$?
Yo estaba tratando de demostrar que este resultado mediante el uso de Mazur lema, que dice que la secuencia de$$v_n=\sum_{k=n}^{f(n)}\alpha_{k,n}u_k\to w\ \mbox{in}\ L^p(\Omega)$$
donde$f(n)\geq n$$\sum_{k=n}^{f(n)}\alpha_{k,n}=1$. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que $v_n(x)\to w(x)$.e. en $\Omega$. Ahora, quiero usar el hecho de que $u_n$$u$.e. en todas partes a la conclusión de que la $v_n\to u$.e. Se puede hacer esto?
Actualización: creo que yo pudiera terminar la prueba, favor de verificar a mí. Fix $x\in \Omega$ tal que $u_n(x)\to u(x)$. Tenga en cuenta que $$|v_n(x)-u(x)|=\left|\sum_{k=n}^{f(n)}\alpha_{k,n}(u_k(x)-u(x))\right|\leq \sum_{k=n}^{f(n)}|\alpha_{k,n}(u_k(x)-u(x))|\tag{1}$$
Para cualquier $\delta>0$ elija $N$ um tal manera que si $n\geq N$$|u_n(x)-u(x)|\leq\delta$, entonces, de $(1)$ llegamos a la conclusión de que $$|v_n(x)-u(x)|\leq \delta$$
