Pensaba que el hamiltoniano era siempre igual a la energía total de un sistema, pero he leído que no siempre es así. ¿Hay algún ejemplo de esto y tiene el Hamiltoniano una interpretación física en tal caso?
En un sistema ideal, holonómico y monogénico (el habitual en la mecánica clásica), el hamiltoniano es igual a la energía total cuando y sólo cuando tanto la restricción como el lagrangiano son independientes del tiempo y el potencial generalizado está ausente.
Así que la condición para que el hamiltoniano sea igual a la energía es bastante estricta. El ejemplo de Dan es uno en el que el lagrangiano depende del tiempo. Un ejemplo más frecuente sería el Hamiltoniano para partículas cargadas en campo electromagnético $$H=\frac{\left(\vec{P}-q\vec{A}\right)^2}{2m}+q\varphi$$ La primera parte es igual a la energía cinética( $\vec{P}$ es canónico, no el momento mecánico), pero la segunda parte NO ES necesariamente energía potencial, ya que en general $\varphi$ puede modificarse arbitrariamente con un calibrador.
¿Qué es un potencial generalizado? He oído hablar de una fuerza generalizada, ¿está relacionada?
@Dan: La fuerza generalizada no conservadora no puede escribirse en términos de $Q_i=-\frac{\partial V}{\partial q_i}$ pero algunos de ellos pueden escribirse como $Q_{i}=-\frac{\partial U}{\partial q_{i}}+\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial U}{\partial\dot{q_{i}}}\right) $ , entonces si dejamos que $L=T-U$ , $L$ seguirá satisfaciendo la ecuación lagrangiana. El potencial generalizado para una partícula cargada es $q\varphi-q\vec{v}\cdot\vec{A}$ .
En realidad, el Hamiltoniano para una partícula cargada en un campo electromagnético suele interpretarse como el energía total.
En general, el hamiltoniano no es igual a la energía cuando las coordenadas dependen explícitamente del tiempo. Por ejemplo, podemos tomar el sistema de una cuenta de masa $m$ confinado en un anillo circular de radio $R$ . Si definimos el $0$ para el ángulo $\theta$ para ser el fondo del anillo, el Lagrangiano $$L=\frac{mR^2\dot{\theta}^2}{2}-mgR(1-\cos{(\theta)}).$$ El momento conjugado $$p_{\theta}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=mR^2\dot{\theta}.$$ Y el Hamiltoniano $$H=\frac{p_{\theta}^{2}}{2mR^2}+mgR(1-\cos{\theta}), $$ que es igual a la energía.
Sin embargo, si definimos el $0$ para que theta se mueva alrededor del anillo con una velocidad angular $\omega$ entonces el Lagrangiano $$L=\frac{mR^2(\dot{\theta}-\omega)^2}{2}-mgR(1-\cos{(\theta-\omega t)}). $$
El momento conjugado $$p_{\theta}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=mR^2\dot{\theta}-mR^2 \omega.$$
Y el Hamiltoniano $$H=\frac{p_{\theta}^{2}}{2mR^2}+p_{\theta}\omega+mgR(1-\cos(\theta-\omega t)), $$ que es no igual a la energía (en términos de $\dot{\theta}$ tiene una dependencia explícita de $\omega$ ).
La mecánica clásica de Goldstein (2ª ed.), pág. 349, sección 8.2 sobre coordenadas cíclicas y teoremas de conservación, contiene una buena discusión al respecto. En sus palabras:
The identification of H as a constant of the motion and as the total energy
are two separate matters. The conditions sufficient for one are not
enough for the other. A continuación, ofrece un ejemplo de un sistema 1-d en el que elige dos sistemas de coordenadas generalizados diferentes. Para la primera opción, H es la energía total, mientras que para la segunda opción H acaba siendo sólo una cantidad conservada y NO la energía total del sistema.
Compruébalo. Es un ejemplo muy bonito.
¿Cuál es la definición de energía aquí? ¿Es algo más que "lo que te da el teorema de Noethers si consideras las traslaciones temporales"? Pensaba que esta cantidad siempre es el hamiltoniano.
@Nikolaj-K La energía total es simplemente $T+V$ es decir, la energía cinética más la potencial. La cantidad que describes resultante de la simetría de traslación temporal es el Hamiltoniano, es decir, la transformada de Legendre del Lagrangiano.
Un poco complicado pero interesante es el Lagrangiano del oscilador armónico amortiguado (Lagrangiano de Havas [1]):
$$ L = \frac{2m\dot{x} +kx}{x\sqrt{4mK-k^2}}\tan^{-1}\left(\frac{2m\dot{x} + kx}{x\sqrt{4mK -k^2}} \right) - $$ $$ - \frac{1}{2}\ln (m\dot{x}^2 + kx\dot{x} + Kx^2) $$
El lagrangiano es independiente del tiempo, por lo que el correspondiente hamiltoniano de Havas se conserva. Ya que la energía total del oscilador armónico amortiguado disminuye en el tiempo, $H$ no puede ser energía total.
[1] Havas P., El ámbito de aplicación del formalismo de Lagrange - I,Nuovo Cim. 5(Suppl.), 363 (1957)
En las páginas 60-64, Goldstein, Poole y Safko (3ª edición) hacen una muy buena derivación y descripción de la función de energía. En las notas a pie de página se afirma que es equivalente al hamiltoniano (sólo que no está en las coordenadas generalizadas correctas para el hamiltoniano). Si esta función se deriva de la esclerosis (las ecuaciones de las restricciones son independientes del tiempo) y no hay $\dot{q}$ en la energía potencial, entonces se puede demostrar que h=T+V. Estas condiciones aseguran que T es homogénea de 2º grado según el Teorema de Euler, y esta es la condición que permite la transformación a T+V.
Todo esto se muestra muy bien en Goldstein.
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Una gran clase de estos ejemplos proviene del uso de un marco de referencia acelerado y/o en rotación. Véase, por ejemplo, Herbert Goldstein, "Classical Mechanics", capítulo 2.