Determinación de la clase hiperreal para $\frac{\epsilon + \delta}{\sqrt{\epsilon^2 + \delta^2}}$

Question

Estoy solidificando mi cálculo repasando el libro de Keisler que utiliza un enfoque hiperreal/infinitesimal. Estoy atascado en este problema.

Dados los infinitesimales $\epsilon,\delta > 0$ , determine si la siguiente expresión es infinitesimal, finita pero no infinitesimal, o infinita:

$$\frac{\epsilon + \delta}{\sqrt{\epsilon^2 + \delta^2}}$$

Keisler da esta pista: Asumir $\epsilon \geq \delta$ y dividir por $\epsilon$ .

Al ser un problema numérico de impar, la respuesta está en la parte de atrás, pero no entiendo cómo conseguirla. Además, ¿por qué iba a suponer que $\epsilon \geq \delta$ ?

Answer 1

Bueno, mi opinión. Si $\epsilon \ge \delta$ entonces $\frac{\epsilon+\delta}{\sqrt{\epsilon^2+\delta^2}} = \frac{1+\frac{\delta}{\epsilon}}{\sqrt{1+\delta^2/\epsilon^2}}$ . Ahora $\delta \le \epsilon,$ así que $\delta/\epsilon \le 1$ (porque la secuencia resultante tendrá números menores divididos por números mayores un número de veces que está en el ultrafiltro).

Por tanto, debe ser finito pero no infinitesimal.