Comprensión de una parte de una prueba que implica la norma de Hilbert-Schmidt

Question

Me encontré con una prueba que parece que no entiendo del todo, una captura de pantalla se proporciona a continuación.

mis preocupaciones son las siguientes:

1. ¿Por qué el hecho de que $||T||_2 = ||UT||_2$ para cada U unitario, nos permite utilizar una segunda base $f_j$ en la definición: $||T||_2 ^2 = \sum{|\langle e_i , Tf_i \rangle|^2}$ de la norma Hilbert-Schmidt?
2. ¿Cómo se pasa exactamente de la línea 1 a la 2? $$ \sum \big| \langle e_i, (A^2+B^2+2AB)f_j \rangle \big|^2 = \sum (\alpha_i ^2 + \beta_j ^2 - 2\alpha_i\beta_j)^2 \big |\langle e_i,f_i \rangle \big|^2$$ en particular, parece que tengo problemas con los índices $i$ y $j$ .
3. ¿Por qué la base ${f_j}$ ¿No se podría hacer la prueba sólo con ${e_j}$ . Desde $f_j$ no se produce en la elección de: $Ae_j = \alpha_j e_j$ y $Be_j = \beta_j e_j$

Answer 1

1. Para dos ONBs cualesquiera existe un mapeo unitario de uno a otro. Por lo tanto, si se conoce $$\|T\|_2^2 = \sum|\langle e_i, Te_i\rangle |^2$$ y desea tener un par arbitrario de UNBs aquí, uno puede $$\|T\|_2^2 = \|UT\|_2^2= \sum|\langle e_i, UTe_i\rangle |^2= \sum|\langle U^*e_i, Te_i\rangle |^2$$ Elija $U^*$ para que $U^*e_j=f_j$ y tienes la identidad reclamada, sólo que con letras $e$ y $f$ invertido.

2. Error tipográfico. Leer como $Bf_j=\beta_j f_j$

3. Aparentemente, $A$ y $B$ se suponen autoadjuntos. Entonces $$\begin{split}\langle e_i, (A^2+B^2+AB)f_j\rangle &= \langle e_i, A^2f_j\rangle + \langle e_i, B^2 f_j\rangle + \langle e_i,ABf_j\rangle \\ &= \langle A^2e_i, f_j\rangle + \langle e_i, B^2 f_j\rangle + \langle Ae_i,Bf_j\rangle \\ &= (\alpha_i^2+\beta_i^2 +\alpha_i\beta_i)\langle e_i, f_j\rangle \end{split}$$