demostrar que la línea de bisecar sección

Question

No es la circunferencia inscrita $\Gamma$ de triángulo $ABC$ tangente a $AB,BC,CA$, respectivamente, en $K,L,M$. Punto de $D$ es el centro de la sección $MK$. $|DL|$ es el diámetro de un círculo que se cruza con $\Gamma$ $L,P$ e con $MK$$D,R$. Mostrar que la línea $PR$ brecha $AD$ en partes iguales.

En realidad no tengo idea de cómo demostrarlo, lo único que se me ocurrió es mostrar que la EA es un diámetro del círculo, nadie tiene idea de cómo vincular la línea de $PR$ sección $AD$ ?

Answer 1

El problema puede ser expresado de la siguiente manera.

Deje $O$ ser el circuncentro del triángulo $ABC$, $\Gamma$ la circunferencia circunscrita. Deje $A'$ ser la antípoda de $A$ en $\Gamma$, $M$ el punto medio de la $BC$. La línea de $A'M$ intersecta $\Gamma$ en un punto de $D$ que $\widehat{ADM}=\widehat{ADA'}=\frac{\pi}{2}$ sostiene claramente. Deje $E$ ser la inversa de a $M$ wrt $\Gamma$ $F$ el punto medio de la $ME$. Deje $K$ ser la proyección de $A$$BC$.

Queremos demostrar que $D,K,F$ son colineales.

Por el teorema de Euler, si la ponemos a $O=0$ tenemos que el ortocentro $H$ $ABC$ satisface $H=A+B+C$. Desde $A'=-A$, $M=\frac{B+C}{2}$ es el punto medio entre el$H$$A'$. Si llamamos a $H'$ el simétrico de a $H$ wrt a $BC$, es bien sabido que el $H'\in\Gamma$. Así que tenemos $MH=MH'=MA'$ $K$ es el punto medio de la $HH'$, por lo que, con el fin de demostrar nuestra afirmación, es suficiente para demostrar que $D,E,H'$ son colineales. Hasta circular de la inversión (wrt $\Gamma$), esto es equivalente a probar que $D,H',M,O$ son concyclic. Finalmente, esto es fácil. Desde $ADA'$ es un triángulo rectángulo y $O$ es el punto medio de la $AA'$,$\widehat{ODA'}=\widehat{OA'M}$. Desde $OM$ es perpendicular a $BC$ y $MH'=MA$, $\widehat{MH'O}=\widehat{MA'O}$. $\widehat{MH'O}=\widehat{MDO}$ sigue, por lo $ODH'M$ es un cuadrilátero cíclico, QED.