Dos subgrupos $H_1, H_2$ de un grupo de $G$ son conjugado iff $G/H_1$ $G/H_2$ son isomorfos

Question

Deje $H_1$ $H_2$ ser subgrupos de un grupo de $G$. Demostrar que la izquierda $G$-conjuntos $G/H_1$ $G/H_2$ son isomorfos (a la izquierda $G$-conjuntos) iff los subgrupos $H_1$ $H_2$ son conjugadas.

Si $H_1$ $H_2$ son conjugado, entonces ellos son isomorfos, lo $G/H_1 \cong G/H_2$. Estoy teniendo problemas con la otra dirección!

Answer 1

Si $\phi : G/H_1 \to G/H_2$ es un homomorphism de $G$, e $\phi([1])=[g]$, entonces lo que sigue es más general que el $\phi([x])=[xg]$. Pero $\phi$ debe ser bien definido, es decir, $y^{-1} x \in H_1$ implica $(y g)^{-1} x g \in H_2$. Esto se reduce a $g^{-1} H_1 g \subseteq H_2$. Por el contrario, esta relación implica que $\phi([x]):=[xg]$ es un bien definido homomorphism de $G$-conjuntos. Del mismo modo, $\phi$ es inyectiva iff $g H_2 g^{-1} \subseteq H_1$. Y $\phi$ es automáticamente surjective. De ello se desprende que $G/H_1 \cong G/H_2$ $G$- conjuntos de iff $H_1$ $H_2$ son conjugados.

Como ya se señaló en los comentarios, es muy importante para trabajar en la categoría de $G$-conjuntos de aquí. Pero no hay alternativas de todos modos. Por supuesto, la categoría de conjuntos es demasiado débil, y la categoría de los grupos no tiene sentido ya que $H_1,H_2$ no se supone que para ser normal.