Intuición física por la independencia de las componentes de la velocidad en la derivación de Maxwell–Boltzmann distribución

Question

Maxwell derivados de la forma de la distribución de probabilidad de la velocidad de las partículas de los gases, comenzando con sólo dos supuestos.

Estos son:

1. La distribución de probabilidad es la rotación invariante.

2. Las componentes de la velocidad de un gas de partículas) en la dirección de los ejes de coordenadas son estadísticamente independientes.

Y el resto es precioso deducción, pero he encontrado que a medida que un laico no tengo ninguna intuición física de por qué la segunda hipótesis es plausible. Hay una explicación intuitiva detrás de la segunda suposición? Si no, hay una manera para obtener la segunda hipótesis a partir de un conjunto de más plausible-en busca de supuestos?

Answer 1

Si tengo una velocidad que tiene algún componente $v_x$ $x$- dirección, entonces hay ninguna razón para que usted asuma que usted sabe cualquier cosa sobre el componente de mi velocidad, que puede ser en una dirección perpendicular, $v_y$?

No. Así que usted puede ver que es razonable suponer que, si usted sabe que mi $v_x$ mi $v_y$ sigue sin restricciones, es decir, usted no tiene ninguna información al respecto. Lo mismo vale para los $v_z$, y ahí tienes tu estadísticamente independiente de las velocidades!

Answer 2

Yo sólo voy a citar Wikipedia aquí:

Para el caso de dos cuerpos que chocan en dos dimensiones, en general, la velocidad de cada cuerpo debe ser dividida en dos perpendiculares velocidades: una tangente a la común normal de las superficies de los cuerpos que chocan en el punto de contacto, el otro a lo largo de la línea de colisión. Desde la colisión sólo transmite la fuerza a lo largo de la línea de colisión, las velocidades que se aproximan al punto de colisión no cambie. Las velocidades a lo largo de la línea de colisión puede ser utilizado en el mismo ecuaciones como una dimensión de la colisión.

Punto clave: Durante una colisión, las componentes de la velocidad perpendicular al eje de contacto (que es al azar) no, por ejemplo, disminuir cuando la otra aumenta. Cada colisión selecciona un tipo de eje al azar y perturba la velocidad en esa dirección.

Answer 3

Esto vino a mi mente después de leer algunas de introducción a la máxima entropía distribuciones de probabilidad.

La independencia puede ser derivada a partir de los siguientes cuatro supuestos:

(1) promedio de impulso de las partículas en el interior de la caja se fija en 0

(2) la energía cinética media de las partículas en el interior de la caja se fija

(3) el gas distribución de la velocidad debe ser como máximo de entropía de la distribución de probabilidad en virtud de las anteriores dos restricciones (1) y (2).

(4) la energía cinética de una partícula puede ser expresado como $f(v_x) + f(v_y) + f(v_z)$ para algunos la función $f$. (no aplica para partículas relativistas)

(Esperemos que (2) y (3) son algo más plausible-en busca de la independencia. (2) parece estar relacionada con equipartition teorema o es suficiente decir que el promedio de la energía cinética se fija simplemente debido a la ley de los grandes números? Y (3) es sobre todo la afirmación de que no hay ninguna otra oculta las restricciones (aparte de (1) y (2) a ser descubierto.)

Para derivar la independencia, supongamos $p(v_x,v_y,v_z)$ es una función de densidad de probabilidad (en velocidad), que NO tienen independencia entre x, y, z componentes de la velocidad. Queremos comparar la entropía de $p$ a de $p'$ donde $p'$ se define como $p'(v_x, v_y, v_z) = p_1(v_x) p_2(v_y) p_3(v_z)$ donde $p_1$ es la distribución marginal de la componente x de la velocidad de $p$ y de manera similar para $p_2, p_3$. Si $p$ muestra el promedio de impulso de 0, y la energía cinética media de 1, entonces el mismo es cierto para $p'$. ($p'$ y $p$ tener el mismo promedio de la energía cinética se deriva de (4)). Pero es un resultado en la teoría de la información que $h(p) < h(p_1) + h(p_2) + h(p_3) = h(p')$ (donde $h(p)$ denota la entropía de $p$). Esto significa que $p$ NO puede ser como máximo de entropía de la distribución de probabilidad en virtud de las restricciones (1) y (2).