Estructura del módulo en la Serre espectral de la secuencia de la construcción de Borel

Question

Deje $G$ ser un grupo finito, $M$ razonable (por ejemplo, un colector cerrado) $G$-espacio. Entonces hay una fibration $X \to EG \times_G X \to BG$ donde $BG$ es la clasificación de espacio de $G$ $EG$ es su cobertura universal. Considere la posibilidad de la Serre espectral de la secuencia de este fibration: $$ E_2^{p,q} = H^p(BG, \mathcal{H}^q(M; \mathbb{Z})) \Longrightarrow H^{p+q}(EG \times_G X; \mathbb{Z}),$$ con $\mathcal{H}^q(M; \mathbb{Z})$ ser un sistema de coeficientes procedentes de la $G$-acción en $M$.

McCleary escribe que "el espectro de la secuencia tiene un inducida por la acción de $H^*(BG;\mathbb{Z})$ en sus términos", pero no da explicación alguna. Podría alguien por favor, explicar y/o dar una referencia sobre cómo hace el $H^*(BG;\mathbb{Z})$-módulo de estructura en $E_2$ surgir?

Answer 1

Creo que esto no tiene nada en particular que hacer con el Borel fibration.

Dado cualquier haz de fibras $F \to E \to B$ conectado con fibra de $F$, uno ha $H^0(F;\mathbb Z) \cong \mathbb Z$, y el monodromy acción inducida en este grupo por el grupo fundamental de la $\pi_1(B)$ de la base es trivial. Así, en el cohomological Serre espectral de la secuencia de este paquete,

$$E_2^{p,0} = H^p(B;\mathbb Z),$$

y la suma (o producto, en función de sus convenciones) de estos, la "fila inferior" $E_2^{\bullet,0}$, es una subalgebra de la $E_2$ plazo. La parte inferior de las filas de páginas posteriores, $E_r^{\bullet,0}$, son anillos cociente de $E_2^{\bullet,0}$ y subrings de sus respectivas páginas de $E_r$. Estas inferior filas de actuar en la más grande de álgebra por multiplicación, así que tirando de nuevo a $E_2^{\bullet,0}$, por lo que hace.

Es decir, es de los mapas $$H^*(B;\mathbb Z) = E_2^{\bullet,0} \twoheadrightarrow E_r^{\bullet,0} \hookrightarrow E_r $$ que rendimiento (tal vez anti-climactically) la acción.