Probar que si $f(x) > 0$ para todos los $x$, $\lim_{x\to a} f(x) = 0$ y $\lim_{x\to a} g(x) = \infty$ ...

Question

Probar que si $f(x) > 0$ para todos los $x$, $\lim_{x\to a} f(x) = 0$ y $\lim_{x\to a} g(x) = \infty$, $\lim_{x\to a} [f(x)]^{g(x)} = 0$

NOTA: Esto muestra que $0^\infty$ no es una forma indeterminada.

Esta solución sea correcta? $$ \lim_{x\a}[f(x)]^{g(x)}=\lim_{x\a}e^{g(x)\ln(f(x))}=0 $$ Porque $$ \lim_{x\a}[\ln(f(x)]]=\lim_{y\to 0}(\ln y)=-\infty $$ y $$ \lim_{x\a}[g(x)]=\infty $$ Entonces $$ \lim_{x\a}[g(x)\ln(f(x)]]=-\infty $$ Finalmente $$ \lim_{x\a}[e^{g(x)\ln(f(x)}]=0 $$

Answer 1

Su solución se ve bien para mí. He aquí otro enfoque, ni mejor, simplemente diferente.

Existe $\varepsilon_1$ tal que $0 < f(x) < 1$ siempre $0 < |x-a| < \varepsilon_1$. Existe $\varepsilon_2$ tal que $g(x) > 1$ siempre $0 < |x-a| < \varepsilon_2$. (Estas son las consecuencias de los límites dados en la hipótesis.)

Por lo tanto, siempre $0 < |x-a| < \min\{\varepsilon_1,\varepsilon_2\}$,$0 < f(x)^{g(x)} < f(x)^1$.

El que desee $\lim_{x\to a} f(x)^{g(x)} = 0$ a continuación se de $\lim_{x\to a} f(x) = 0$ y el teorema del sándwich.