Cómo calcular este límite?

Question

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^n\left(\sqrt{8+\frac {4i}n}\right)\frac 4n$$

Sé que esto es la suma de Riemann para ciertos integral y, a continuación, el límite es solo la integral, pero ¿hay alguna manera de solucionar esto sin el uso de las integrales?

Esta pregunta es una guía de problemas para los estudiantes que no saben integrales todavía.

Answer 1

Vamos $$S_n=\sqrt1+\sqrt2+\cdots+\sqrt n$$ Por Stolz-Cesàro teorema, tenemos $$\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt1+\cdots+\sqrt n}{n\sqrt n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt n}{n\sqrt n-(n-1)\sqrt{n-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2\left(1+\left(1-\frac1n\right)\sqrt{1-\frac1n}\right)}{n^3-(n-1)^3}=\frac23$$ Por lo tanto $$S_n\sim \frac23n\sqrt n$$ Observe que $$\frac1n\sum_{k=1}^n\sqrt{8+\frac{4k}n}=\frac2{n\sqrt n}(S_{3n}-S_{2n})$$ Así $$\lim_{n\to\infty}\frac4n\sum_{k=1}^n\sqrt{8+\frac{4k}n}=\frac{16}3(3\sqrt3-2\sqrt2)$$

Answer 2

$$4\left[\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\left(\sqrt{8+\frac{4k}{n}}\right)\right]\xrightarrow[n\to\infty]{}4\int\limits_0^1\sqrt{8+4x}\,dx$$

Compruebe la anterior con la partición de $\,\left\{0<\frac{1}{n}<\frac{2}{n}<\ldots <\frac{n}{n}=1\right\}\,$