$( \mathrm{Aut}(\mathbb{D}),\| \cdot \|_{\infty})$ está completo

Question

Necesito mostrar $(\mathrm{Aut}(\mathbb{D}),\| \cdot \|_{\infty})$ está completo, donde $\mathbb{D}$ es un disco unitario abierto en el plano complejo.

Lo sé. $$f\in \mathrm{Aut}(\mathbb{D})\Rightarrow f(z)=e^{i\phi}{z-\alpha\over 1-\bar{\alpha}z},-\pi<\phi\le \pi,|\alpha|<1$$

así que tomé $$f_n(z)=e^{i\phi}{z-\alpha_n\over 1-\bar{\alpha}_nz},-\pi<\phi\le \pi,|\alpha_n|<1$$

Diga $f_n\to f$ en la norma sup, $f_n$ es cauchy, entonces la convergencia es uniforme ¿no? Ahora sólo se puede decir $$f(z)={z-\beta\over 1-\bar{\beta}z},-\pi<\phi\le \pi,|\beta|<1$$

donde $\alpha_n\to\beta$ ? Gracias por la ayuda.

Answer 1

$\mathrm{Aut}(\Bbb D)$ es un grupo. Así que si $g\in \mathrm{Aut}(\Bbb D)$ entonces $g^{-1}\in Aut(\Bbb D)$ .

1) Demuestre que $f_n$ , que es Cauchy, tiene un límite digamos $f$ entonces por el teorema de Weierstrass para funciones holomorfas límite tenemos que $f$ es holomorfo.

Tenemos que $f_n(z)=e^{iθ}φ_a(z)$ .entonces $f_n^{-1}(z)=e^{-iθ}φ_{-a}(z)$ . Demostrar que $f_n^{-1}\to f^{-1}$ .

Desde 1) $f^{-1}$ es holomorfo.

Así, $f\in \mathrm{Aut}(\Bbb D)$ .

Answer 2

No estoy seguro de que se pueda mostrar en su camino $|\beta| <1$ (Parece que sólo se puede conseguir $|\beta|\leq 1$ ). Aquí hay (un esbozo de) otro método.

(1) Demuestre que $\mathrm{Aut}(\mathbb D) = \{ f:\mathbb D \to \mathbb D: \ f,\ f^{-1} \text{ are holomorphic }\}$

(2) Si $f_n$ es una secuencia de Cauchy, entonces tiene un límite $f$ que es una función continua. Demuestre que $f$ es holomorfo.

(3) Demuestre que $f^{-1}$ existe y es holomorfa.