¿Por qué elegir$\varepsilon$ para ser arbitrariamente pequeño significa igualdad?

Question

Suponga que$\int_a^bf(x)dx$ existe y hay un número A tal que, para cada$\varepsilon> 0$ y$\delta > 0$, hay una partición P de$[a,b]$ con$||P||<\delta$ y la Riemann suma de f sobre P que satisface la desigualdad$|\sigma -A|$. Muestra esa $\int_a^bf(x)dx=A$.

En la última parte de esta prueba se deduce que,

$|A-\int_a^bf(x)dx| \leq |A-\sigma|+|\sigma-\int_a^bf(x)dx| \leq 2\varepsilon$

Entonces dice que podemos elegir$\varepsilon$ para ser arbitrariamente pequeño para que$A=\int_a^bf(x)dx$.

Si seleccionamos$\varepsilon$ para ser muy pequeño, ¿cómo sigue$A=\int_a^bf(x)dx$?

Answer 1

Si tiene$|R|\leq 2\varepsilon $ para todo$\varepsilon>0$, entonces$|R|$ es un número real no negativo que es menor que cualquier número real positivo. Resulta que $R=0$. Si no fuera así, y$|R|>0$ ,, obtendremos una contradicción tomando$\varepsilon=|R|/4$.

Answer 2

Supongamos que tiene un número$x \ge 0$, y le digo que para cualquier$ \epsilon >0$ tenemos$x < \epsilon$.

Entonces debemos tener$x=0$.

Supongamos que$x >0$ entonces toma$\epsilon = {x \over 2}$ que da$0 < x \le {x \over 2}$, o$1 < {1 \over 2}$ que es una contradicción.

Answer 3

Recuerde que $A$ $\int_a^b f(x) dx$ son sólo números, por lo que esto no tiene nada que ver con las integrales.

$$|a - b| \le \varepsilon \ \forall \varepsilon > 0 \to a=b$$

Pf:

Supongamos por el contrario que $a \ne b$. Queremos mostrar que $\exists \varepsilon_0 > 0$ s.t. $|a-b| > \varepsilon_0$.

Si $a \ne b$,$|a - b| > 0$.

Elija $\varepsilon_0 = |a-b|$. ↯ QED

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Para ayudarle a entender mejor (al menos esto es lo que yo entendí cuando me tomó básica de análisis real), vamos a ver el caso en que $a$ $b$ no son sólo números.

Recordemos la definición de $$\lim_{x \to a} f(x) = L$$

$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0$ s.t. $|f(x) - L| < \varepsilon$ wh $0 < |x-a| < \delta$

Aquí no (necesariamente) ha $f(x) \equiv L$ (significado $f(x) = L \ \forall x$; el infierno podemos tener $f(x) \ne L \ \forall x$) porque no tenemos

'$|f(x) - L| < \varepsilon \ \forall \varepsilon > 0 \ \forall x$'

En cambio tenemos '$\forall \varepsilon > 0, |f(x) - L| < \varepsilon$ a algunas condiciones en $x$'.

Ahora bien, si tenemos $f(x) = b$$\lim_{x \to a} f(x) = L$, luego tenemos a $f(x) \equiv L$ porque:

$\forall \varepsilon > 0, |f(x) - L| < \varepsilon$ a algunas condiciones en $x$

$\to \forall \varepsilon > 0, |b - L| < \varepsilon$ a algunas condiciones en $x$

$\to \forall \varepsilon > 0, |b - L| < \varepsilon \ \forall x$

$\to b = L \ \forall x$

$\to f(x) = L \ \forall x$

$\to f(x) \equiv L$

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Para más detalles sobre las $\int_a^b f(x) dx$ siendo sólo un número por ponerlo en el contexto de $\varepsilon-\delta$, se puede pensar en

$$|A - \int_a^b f(x) dx|$$

como análoga a la

$$|L - \lim_{x \to a} f(x)|$$

Después de todo, $\int_a^b f(x) dx$ es un límite. Como usted dijo, $\int_a^b f(x) dx$ 'existe'.

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Por último, ¿te acuerdas de la prueba de la singularidad de los límites de las funciones a saber:

$$\lim_{x \to a} f(x) = L, \lim_{x \to a} f(x) = M$$

?

Usted puede estar interesado en:

Demostrar que el límite de una función es única.

Answer 4

Si$0\le |a-b| \le \epsilon $ forall$\epsilon >0$, entonces no hay$ \epsilon > 0$ tal que$0 < \epsilon <|a-b|$. Sin embargo, para todos los$x > 0$ sí existe alguna$\epsilon$ #% de manera que% #%.

Asi que $0 <\epsilon < x $.

Asi que $|a-b| \not > 0 $.

Answer 5

Fundamentalmente esto se reduce a (a) el orden total de la propiedad de los números reales, (b) la Archimedian propiedad de los números reales, y (c) el hecho de que el valor absoluto separa puntos.

Vamos $$x =\left|\int_a^b f(x) dx - A\right|.$$ Hemos de observar primero que $x$ es un número real.

Para cualquier número real $x$, una y sólo una de las siguientes propiedades debe poseer:

1. $x > 0$
2. $x = 0$
3. $x < 0$.

Esto se deduce del hecho de que los números reales son totalmente ordenado.

Ya sabemos que $x$ es no negativo, por lo que las normas de la $x < 0$ (caso 3.).

Por otro lado, si $x>0$ (caso 1.), luego por la Archimedian propiedad de los números reales, podemos encontrar otro número menor que $x$, pero todavía mayor que cero. Cualquiera que sea este número es que supuestamente es menor que $x$, se puede elegir $\epsilon$, de modo que $2\epsilon$ es incluso menor que este número. A continuación,$x > 2\epsilon$, lo que contradice el hecho de que ya sabemos que es $x < 2\epsilon$. Por lo tanto, desde el caso (1.) conduce a una contradicción, no puede ser verdad.

La única posibilidad es el segundo caso: $x=0$. Recordando la definición de $x$, esto significa: $$\left|\int_a^b f(x) dx - A\right|=0.$$

Ahora, por el hecho de que la función valor absoluto separa puntos, sabemos que para cualquier número real $y$ si $|y|=0$$y=0$. Por lo tanto $$\int_a^b f(x) dx - A = 0,$$ y así $$\int_a^b f(x) dx = A.$$