Ejemplo de grupo no beliano

Question

Estaba cazando un ejemplo de grupo finito no trivial en el que

1) Todo subgrupo normal no trivial es no abeliano.

2) Existe un subgrupo abeliano subnormal no trivial.

¿Hay alguna esperanza de averiguarlo?

Notación

Un subgrupo $H$ de un grupo determinado $G$ es un subnormal subgrupo de $G$ si existe una cadena finita de subgrupos del grupo, cada uno normal en el siguiente, que comienza en H y termina en $G$ .

Answer 1

En un grupo finito $G$ un subgrupo $H\le G$ está contenida en el Subgrupo de ajuste (se denota $\mathbf{F}(G)$ ) si y sólo si $H$ es subnormal y nilpotente.

Si un grupo finito $G$ tiene un subgrupo abeliano subnormal $K\le G$ entonces $K\le \mathbf{F}(G)$ . Porque $\mathbf{F}(G)$ es no trivial, también tenemos que su centro es no trivial: $Z(\mathbf{F}(G))\neq\lbrace1\rbrace$ . Esto se debe a que $\mathbf{F}(G)$ es nilpotente.

Pero entonces $Z(\mathbf{F}(G))$ es un subgrupo normal abeliano de $G$ . Por lo tanto, no existe ningún ejemplo, como se indica en la pregunta.