Unión de conjuntos abiertos y cerrados infinitos

Question

Supongamos que$ \{A_i: i ∈ I\}$ es una colección de conjuntos clopen (es decir, abierta y cerrada al mismo tiempo), indexada por$I$. ¿Es cierto que $ \ bigcup_ {i \ in I} A_i $$ está cerrado?

Answer 1

Tome$X = \Bbb Q$ y$x_i =\frac{\sqrt{2}}{i}$ para$i\in \Bbb N$. Entonces podemos considerar los intervalos racionales$A_i= (x_{i+1},x_i)$. Ellos están claramente abiertos, ya que también están abiertos en$\Bbb R$, pero también están cerrados ya que los límites en el límite no pertenecen a$\Bbb Q$.

Pero$$A=\bigcup_{i\in \Bbb N} A_i =(0, \sqrt{2}) $ $ no está cerrado desde$0\notin A$.