Múltiple diferenciación de la expansión de Taylor

Question

Deje $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ser una función real, y vamos a $0\leq n\leq+\infty$. Planteamos las siguientes hipótesis:

Para cada $a \in\mathbb{R}$ $k=n$ (resp., en el caso de $n=+\infty$: para cualquier $k\geq 0$), existen números reales $c_0(a),\ldots,c_k(a)$ tal que

$$f(x) = c_0(a) + c_1(a)\,(x-a) + \frac{1}{2}c_2(a)\,(x-a)^2 + \cdots + \frac{1}{k!}c_k(a)\,(x-a)^k + o((x-a)^k)$$

donde, como de costumbre, $o((x-a)^k)$ $(x-a)^k\,\varepsilon_{a,k}(x)$ para algunos la función $\varepsilon_{a,k}$ tendiendo a $0$ al $x \to a$.

En otras palabras, suponemos que $f$ tiene un poder de expansión de la orden de $k$ $o$ término de error en (toda) $a$. Tenga en cuenta que no se realiza ninguna suposición sobre la uniformidad de la $o$ término de error al $a$ varía (por ejemplo, no asumimos que $\varepsilon_{a,k}(x)$ está limitada por una función de $x-a$): sólo suponemos que por cada $a$ existe una expansión de la orden de $k$ como en el anterior, nada más.

Naturalmente, el $c_i(a)$ se determina únicamente, tenemos $c_0 = f$ (es decir, $c_0(a) = f(a)$ por cada $a$) y $f$ es continua; y por otra parte, tan pronto como $n\geq 1$, claramente, $f$ es derivable con derivada $f' = c_1$.

No podemos deducir que $f$ es dos veces diferenciable, o incluso $C^1$, a partir de la hipótesis anterior solo, no importa cuán grande $n$ es. El simple ejemplo de $f(x) = x^{n+1} \sin(x^{-n})$ proporciona un contraejemplo (es $o(x^n)$ $0$ y analítica en todas partes, por lo que tiene un poder de expansión de la orden de $n$ en todas partes, sin embargo, es fácil ver que no es $C^1$$0$); un poco más complicado contraejemplo obras para $n=\infty$.

Ahora, aquí está mi pregunta. Hagamos la siguiente hipótesis (que no es satisfecho por encima de contraejemplo):

Para cada una de las $0\leq k\leq n$, la función de $c_k$ (es decir, $a\mapsto c_k(a)$) es continua.

(En particular, si $n\geq 1$, ahora está claro que $f$$C^1$.)

Puedo concluir a partir de ambas premisas que $f$$C^n$? (O, si no, puedo concluir algo no trivial?)

Answer 1

Esta pregunta se contesta en la afirmativa en Abraham, Robbin, Transversal y las asignaciones de flujos, Ch.1, $\S$2, Un criterio para la suavidad. Prueban que esta opuesto del teorema de Taylor para funciones entre espacios de Banach y de atributo en el caso unidimensional a Marcinkiewicz, Zygmund, En la diferenciabilidad de funciones y summability de trigonométrica de la serie.

Como tengo entendido que después de un vistazo a la prueba, demostrar por inducción que $c_k = f^{(k)}$ demostrando que $c_k(a+h) - c_k(a) = \int_0^1 c_{k+1}(a+th)h \, dt$. Para demostrar que $f$$C^n$, por lo que para justificar la anterior, que demuestren que $c_1$ satisface la hipótesis del teorema de con $n$ reemplazado por $n-1$ y, a continuación, utilizar la inducción (en lo finito dimensional caso; un truco con Hahn-Banach permite reducir el teorema para ese caso). La prueba de que el hecho de que parece elemental pero difícil; en particular, se utiliza un polinomio de interpolación de lema.

Answer 2

A repetir lo que escribí en MO, yo era incapaz de llegar a mis manos el libro de Abraham Y Robbin se mencionó en la respuesta por Benoit Jubin, ni localizar exactamente declaración en el documento de Marcinkiewicz Y Zygmund (cada teorema en este documento, así como posteriormente, relacionados con el solo papel por Marcinkiewicz, "Sur les séries de Fourier", Fund. De matemáticas. 27 (1937) 38-69, parece haber "en casi todo" en la conclusión).

Sin embargo, la palabra clave es "de la Vallée-Poussin derivados" o "Peano derivados" para designar a la $k$-ésimo coeficiente de expansión asintótica de $f$ alrededor de un punto: es decir, si $f(a+h) = f(a) + f_{1}(a)\,h + \cdots + \frac{1}{n!} f_{n}(a)\,h^n + o(h^n)$ (sin asunción de homogeneidad w.r.t. $a$ sobre el término de error), nos dicen que $f_{k}(a)$ $k$- th dlVP/Peano derivado de la $f$$a$. Dado esto, es bastante fácil de usar Google para encontrar un teorema en la literatura que responde a la pregunta y mucho más:

H. William Oliver, "La Exacta Peano Derivados", Trans. Amer. De matemáticas. Soc. 76 (1954) 444-456: teorema 3:

Si $f_n(x)$ existe y está delimitado por encima o por debajo de todo $[a,b]$,$f_n(x) = f^{(n)}(x)$, el ordinario $n$-ésima derivada, en cada punto de $x \in [a,b]$.

El mismo artículo se demuestra varias otras propiedades interesantes de estos dlVP/Peano derivados: son Baire clase 1, tienen la propiedad de Darboux (=valores intermedios de la propiedad), satisfacer a un valor medio teorema (se indica en el documento) y tienen el Denjoy propiedad (=la inversa de la imagen de un intervalo abierto está vacío o tiene medida positiva).

Las pruebas de Oliver papel consiste más bien tedioso caso distinciones. Diferente, y posiblemente la más simple, la prueba de la citada declaración se da en: Verblunsky, "En el Peano Derivados", Proc. Londres Matemáticas. Soc. 22 (1971) 313-324 (ver teorema 1(ii)).

De forma análoga propiedades para aproximado de Peano derivados (definición de la misma como el anterior, excepto que la expansión asintótica es sólo supone un conjunto de $h$ tiene una densidad de $1$$0$) se demostró en Babcock, "En las Propiedades de los aproximadamente Peano Derivados", Trans. Amer. De matemáticas. Soc. 212 (1975) 279-294.

(Sorprendentemente, Mukhopadhyay escribió en 2012 un libro entero sobre derivadas de Orden Superior y no parece hablar de estos teoremas en cualquier lugar!)