Por qué el curl de un campo vectorial mide su tendencia de rotación

Question

Yo estaba tratando de entender por qué curl mide la tendencia de un campo de vector de rotación. Dos ejemplos de la física parecen responder a mi pregunta:

1. Curl del campo de velocidad es el doble de la velocidad angular
2. Curl del campo de fuerza es el par.

Pero sólo puedo probar la primera cuando el campo de velocidad describe un movimiento circular uniforme. ¿Cómo puedo mostrar que los dos ejemplos son verdaderos en general para demostrar que curl es realmente la medida de la rotación.

Answer 1

Por favor, tenga en cuenta que este es un trabajo conceptual, y NO una técnica, enfoque a responder a tu pregunta, como su propia pregunta me pareció ser de carácter conceptual.

En primer lugar, recordemos que la curvatura de la cruz es un producto, y por lo tanto es un vector propio. Puesto que el $\nabla$ operador sí no es una cantidad vectorial, sino que es un operador sobre el vector de funciones de seguimiento el vector de cambios en su campo, el de la cruz del producto, que debe ser perpendicular a ambos componentes, con lo que es perpendicular al plano que contiene a la rotación de los rígidos, los "pequeños" de la zona en su campo de vectores que se están examinando. Esta es la razón por la curvatura es normal o perpendicular a la acción, por así decirlo, y por qué tenemos que llevar en el eje z cuando se habla de los campos en el plano xy.

Recuerde, estamos tratando con muy "pequeñas" cantidades aquí, ya que estamos involucrando a los diferenciales. Así que imagina un objeto rígido en un particular punto de interés en su campo - por ejemplo, una pequeña pieza de madera que fluye en su campo (en lugar de una formación de aviones, que de por sí podría estirar o apriete). Imagina que estás parado en el centro de masa de este pedazo de madera aislada en su mente, e imagina también que usted no puede ver la naturaleza de los vectores de campo responsable de la velocidad (o de fuerza) la conducción de su pedazo de madera.

Con esta configuración, se puede atacar a sus preguntas conceptualmente. Para el número 1, si, por ejemplo, la madera estaba en un río con la línea recta de flujo de igual magnitud a través de su junta directiva, usted no será capaz de distinguir su movimiento de permanecer inmóvil (puesto que no se puede ver la naturaleza de lo que se está moviendo, por la hipótesis anterior). Sin embargo, si el campo de velocidades era más fuerte de lo justo a su derecha que a la izquierda, la experiencia de la madera girando a su alrededor en sentido contrario; del mismo modo, si la velocidad tenido la misma magnitud a través de su junta directiva (no cortante, en otras palabras), pero su consejo fue en sentido contrario de la circulación, su mano derecha parece estar moviéndose más rápido de su mano izquierda, lo que significa que podría también ver a un familiar en sentido antihorario movimiento.

El vector de velocidad, memoria, puede ser descompuesto en relación a cualquier punto de un vector componente paralela al movimiento directamente hacia o lejos de ese punto (lineal) y un componente de movimiento perpendicular al movimiento lineal de distancia o hacia ese punto (de rotación). Del mismo modo, el único componente de su campo de fuerza que tienden a iniciar la rotación de un objeto rígido fijo en un extremo en un punto (por ejemplo. un restaurante puerta giratoria) será la componente perpendicular al objeto. El desplazamiento de acciones en relación con el punto fijo es importante - pura rotación que actúa sobre el centro de masa y en ningún otro lugar "girar en su lugar," así como no habrá ningún par si solo hay una componente perpendicular de la fuerza en el punto fijo del eje (empujando la puerta del restaurante en las bisagras no abrirlo, incluso si usted está perpendicular al resto de la puerta).

Respecto a la integración, imaginar una pequeña colección de conectado engranajes giratorios con un trozo de cinta alrededor de su borde (o de la superficie, si te refieres a 3-D). La rotación de la cinta alrededor de la orilla, es decir, la suma total de la de la velocidad orientados en dirección a la frontera de componentes, corresponde a la suma de la rotación (orientado a) las velocidades en el interior de la zona, es decir, la tendencia neta del campo de velocidad para girar alrededor de los centros de masas de área pequeña (o volumen) de los componentes dentro de la frontera.

Mientras que en bruto y matemáticamente exacto, realmente hemos descrito Teorema de Stokes aquí:

$$\iint\limits_S {(\nabla \times V)\cdot dS}=\int\limits_{\delta S} {(V \cdot dr)}$$

De nuevo en términos básicos, el lado izquierdo es una medida de la suma a través de un área (o volumen) de la magnitud del flujo perpendicular a los componentes que son lineales con respecto al centro de masa de la "pequeña" de las secciones en una partición de esta área (y por lo tanto capta SÓLO la componente de rotación del campo en esta zona). El lado derecho es la suma de la componente de la velocidad en la dirección del límite de la zona (o de volumen), que se traduce en la manera en toda el área (o de volumen) gira dentro del campo.

De ahí el problema de pedir reducirá a la solución para el número 1 que ya ha obtenido. Desde curl está configurado para "ignorar" relación lineal de los componentes de su flujo, tendrás que su integral sólo presta atención a las partes de su flujo de "rotar" de todos modos.