Evaluar $ \lim_{x \rightarrow - \infty} \frac{\sqrt{9x^6-x}}{x^3+1} $

Question

He empezado a aprender límites en cálculo y me encontré con esta pregunta:

Evaluar $ \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{\sqrt{9x^6-x}}{x^3+1} $ .

Reescribo lo anterior como $ \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{\sqrt{9-\dfrac{1}{x^5}}}{1+\dfrac{1}{x^3}} = \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{\sqrt{9}}{1} = \boxed{3} $

Pero ahora me piden calcular $ \displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{\sqrt{9x^6-x}}{x^3+1} $

¿Cómo resolver para menos infinito? ¿Dónde colocar el signo negativo, me estoy confundiendo, por favor ayuda. Gracias.

Answer 1

Dividiendo por $|x^3|$ obtenemos $$\frac{\sqrt{9x^6-x}}{x^3+1}=\frac{\frac{\sqrt{9x^6-x}}{|x^3|}}{\frac{x^3+1}{|x^3|}}$$ Cuando $x\to-\infty$, tenemos, para $x<0$, \begin{align} \frac{\frac{\sqrt{9x^6-x}}{|x^3|}}{\frac{x^3+1}{|x^3|}}&=\frac{\sqrt{\frac{9x^6-x}{x^6}}}{\frac{x^3+1}{-x^3}}=\frac{\sqrt{9-\frac{1}{x^5}}}{-1-\frac{1}{x^3}}\to\frac{\sqrt{9+0}}{-1+0}=\color{blue}{-3} \end{align}

Answer 2

Observe que se puede cambiar fácilmente el límite a medida que $x\to +\infty$ de la siguiente manera $$\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{9x^6-x}}{x^3+1}$$ $$=\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{9(-x)^6-(-x)}}{(-x)^3+1}$$

$$=\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{9x^6+x}}{1-x^3}$$ $$=\lim_{x\to +\infty}\frac{|3x^3|\sqrt{1+\frac{1}{9x^5}}}{x^3\left(\frac{1}{x^3}-1\right)}$$ $$=\lim_{x\to +\infty}\frac{3x^3\sqrt{1+\frac{1}{9x^5}}}{x^3\left(\frac{1}{x^3}-1\right)}$$ $$=3\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{9x^5}}}{\frac{1}{x^3}-1}$$ $$=3\cdot \frac{\sqrt{1+0}}{0-1}=\color{red}{-3}$$

Answer 3

También puedes hacer $$\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{\sqrt{9x^6-x}}{x^3+1}$$ $$\sim \frac{3x^3}{-x^3} = -3$$
Esto es más fácil para mí hacer mentalmente para revisar mi trabajo; solo date cuenta de que el término $9x^6$ crece mucho más rápido que el término $-x$ hacia el infinito positivo, por lo que efectivamente obtienes $\sqrt{9x^6}$ a medida que te acercas al infinito, y la adición en el denominador se vuelve insignificante mientras el cúbico se acerca a menos infinito. Quizás un poco menos rígido en la forma en que lo expreso, pero conceptualmente simple.

Answer 4

Aviso:

$$\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{9x^6-x}}{x^3+1}=\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{9x^6-x}}{x^3}=$$ $$\lim_{x\to-\infty}-\sqrt{\frac{9x^6-x}{x^6}}=-\left(\lim_{x\to-\infty}\sqrt{\frac{9x^6-x}{x^6}}\right)=$$ $$-\left(\sqrt{\lim_{x\to-\infty}\frac{9x^6-x}{x^6}}\right)=-\left(\sqrt{\lim_{x\to-\infty}\frac{9-\frac{1}{x^5}}{1}}\right)=$$ $$-\sqrt{\frac{9-0}{1}}=-\sqrt{9}=-3$$