Prueba del isomorfismo entre $\text{PGL}_2(\mathbb{F}_5)$ y $S_5$

Question

Esta pregunta ya se ha formulado aquí antes, pero no creo que ninguna de las respuestas anteriores sea clara para alguien como yo, que sólo tiene una formación elemental en álgebra abstracta. Así que puedo tomarme el tiempo de preguntar una vez más: ¿Por qué tenemos $PGL_2(\mathbb{F}_5) \cong S_5$ ?

Hasta ahora he tratado de encontrar una acción de $GL_2(\mathbb{F}_5)$ en un conjunto con 5 elementos pero no he tenido suerte. Sin embargo, si deja que $GL_2(\mathbb{F}_5)$ actúan sobre la línea proyectiva $P^1(\mathbb{F}_5)$ entonces obtenemos un homomorfismo a $S_6$ cuyo núcleo es el conjunto de matrices escalares que es exactamente $Z(GL_2(\mathbb{F}_5))$ . Así que obtenemos un isomorfismo de $PGL_2(\mathbb{F}_5)$ a un subgrupo de $S_6$ . Luego traté de considerar la acción de $S_6$ en $S_6:PGL_2(\mathbb{F}_5)$ y traté de usar eso para mostrar el isomorfismo pero no sirvió.

¿Alguien sabe cómo se puede proceder a partir de aquí o estoy yendo por un camino completamente equivocado? Se agradece cualquier sugerencia.

EDIT: Aquí está la pregunta completa como se pidió:

Demuestre que los grupos $SL_2(\mathbb{F}_4)$ y $PSL_2(\mathbb{F}_5)$ ambos tienen el orden 60. Utiliza esto y algunos resultados de las preguntas anteriores para demostrar que ambos son isomorfos al grupo alterno $A_5$ . Demostrar que $SL_2(\mathbb{F}_5)$ y $PGL_2(\mathbb{F}_5)$ ambos tienen el orden 120, que $SL_2(\mathbb{F}_5)$ no es isomorfo a $S_5$ pero $PGL_2(\mathbb{F}_5)$ es.

Las preguntas previas a las que se refiere la pregunta (y que pude hacer) fueron:

1. Dejemos que $G$ sea un grupo de orden 60 que tenga más de un subgrupo Sylow 5. Demuestre que $G$ es simple.

2. Dejemos que $G$ sea un grupo simple de orden 60. Deducir que $G \cong A_5$ de la siguiente manera. Demuestre que $G$ tiene seis Sylow 5-subgrupos. Considerando la acción de conjugación del conjunto de Sylow 5-subgrupos, demuestre que $G$ es isomorfo a un subgrupo $G \leq A_6$ del índice 6. Al considerar la acción de $A_6$ en $A_6:G$ , mostrar que existe un automorfismo de $A_6$ tomando $G$ a $A_5$ .

Answer 1

Si consideramos las clases de conjugación de $S_6$ de los subgrupos isomorfos a $S_5$ descubrimos el sorprendente hecho de que, de hecho, hay dos clases diferentes. Una es la clásica clase conocida de copias naturalmente incrustadas de $S_5$ en $S_6$ donde uno de los seis puntos movidos de $S_6$ queda invariante; pero hay otra clase que actúa sobre seis puntos sin dejar invariante uno de ellos. Un representante de esta clase (de 6 subgrupos conjugados) es el grupo generado por $(1,2,3)(4,5,6)$ y $(1,3,4,6,2,5)$ . Este grupo actúa transitivamente sobre los puntos $\{1 \ldots 6\}$ y por lo tanto se puede relacionar con la acción de $\operatorname{PGL(2,\Bbb{F}_5)}$ en las seis líneas que pasan por el origen en $\Bbb{F}_5^2$ .

Answer 2

Aquí hay una prueba de lo que dije en los comentarios (que resuelve tu problema, pero no proporciona un isomorfismo explícito).

Dejemos que $H\le S_n$ sea un subgrupo de índice $n$ con $n\ge5$ . Considere la acción de $S_n$ en los cosets de $H$ . El núcleo de esta acción es trivial (ya que el único núcleo posible es $A_n$ pero $A_n\not\subset H$ ). Así, $H$ actuando sobre sus propios cosets es también una acción fiel. Dado que $H$ es un subgrupo, fija el coset trivial ( $H$ mismo). La acción sobre los cosets no triviales da una inyección de $H$ en $S_{n-1}$ . Las consideraciones de orden muestran que se trata de un isomorfismo.