Cada operador lineal en$\mathbb{R}^5$ tiene un subespacio invariante tridimensional

Question

Estoy tratando de determinar si la siguiente afirmación es verdadera o falsa:

Cada transformación lineal en $\mathbb{R}^5$ tiene un invariante de 3 dimensiones en el subespacio.

Desde $\dim(\mathbb{R}^5)=5$, entonces, dado cualquier operador lineal $T$ $\mathbb{R}^5$ sé que $\deg(\text{char}_T(x))=5$, y por lo tanto,$\text{char}_T(x)$ tiene al menos una raíz real, lo que significa que $T$ tiene al menos un autovalor real, $\lambda$. Por lo tanto, $$\text{char}_T(x)=(x-\lambda)f(x),$$ donde $f$ puede ser factorizado como el producto de irreducibles en dos cuadráticas, una ecuación cuadrática y dos factores lineales, o 4 factores lineales. No sé a dónde ir desde allí. Tal vez la afirmación es falsa? Gracias por su ayuda!

Answer 1

Esta es una sencilla consecuencia de la existencia de la verdadera forma normal de Jordan de la matriz de la endomorfism. Que la matriz es similar a una cuadra de la diagonal de la matriz, con cada bloque de un verdadero bloque de Jordan. Hay varios casos a ser considerados. Por ejemplo, si usted endomorfism tiene uno y sólo un autovalor real (con multiplicidad $1$) y cuatro complejo no real de los autovalores, entonces la verdadera forma normal de Jordan será del tipo$$\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\0&a&-b&0&0\\0&b&a&0&0\\0&0&0&c&-d\\0&0&0&d&c\end{pmatrix}$$and therefore the span of the first three vectors of the correspondeng basis will be invariant. If you endomorfism has one and only one real eigenvalue (with multiplicity $1$) and two complex non-real eigenvalues (each with multiplicity $2$), then either the real Jordan normal form will be like the previous one (with $c=1$ and $d=b$) or will have the form$$\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\0&a&-b&1&0\\0&b&a&0&1\\0&0&0&a&-b\\0&0&0&b&a\end{pmatrix},$$pero de nuevo, usted puede considerar el lapso de los tres primeros vectores de la correspondiente base. Y así sucesivamente.