Encuentre todos los polinomios con coeficientes reales$P(x),Q(x)$ tales que para cada número real$x$ tenemos:$P(Q(x))=P(x)^{2017}$

Question

Encuentre todos los polinomios con coeficientes reales$P(x),Q(x)$ tales que para cada número real$x$ tenemos:$$P(Q(x))=P(x)^{2017}$ $

¡Este problema es realmente duro a mí !! No tengo ni idea de la solución!
Se ha dado en el campamento de verano para MO iraní.

Answer 1

Contrario a mi estimación inicial, no necesitamos que $2017$ es primo.

Teorema. Deje $N>1$ $P,Q\in\Bbb C[X]$ tal que $$ \tag0 P(Q(x))=P(x)^{N}\qquad\text{for infinitely many }x\in\Bbb C.$$ A continuación, cualquiera de $P$ es constante o hay $n\in\Bbb N$, $a,b,\beta\in\Bbb C$ con $a^{N-1}=b^n$ y $$\tag1 P(X)=a(X-\beta)^n,\quad Q(X)=b(X-\beta)^N+\beta. $$

Prueba. Primero de todo, tenga en cuenta que la ecuación polinómica $(0)$ también llevará a cabo para todos los $x\in\Bbb C$. Si $f$ es un polinomio y $z\in\Bbb C$, vamos a $v_f(z)$ denotar el orden de $z$ como raíz de $f$. Por lo $v_f(z)=0$ en casi todas las $z$$\sum_{z\in\Bbb C}v_f(z)=\deg f$.

Vamos $n=\deg P$, $m=\deg Q$. Como sólo estamos interesados en que no sea constante $P$, podemos suponer $n>0$. El grado de $P\circ Q$$nm$,$P^{N}$$Nn$. Llegamos a la conclusión de que $m=N$.

De $(0)$ vemos que para $\alpha\in\Bbb C$$\beta:=Q(\alpha)$, $$\tag2 N\cdot {v_P(\alpha)} = v_P(Q(\alpha))\cdot v_{Q-\beta}(\alpha).$$ Para $\alpha$ que maximiza $v_P$ (en particular, $v_P(\alpha)>0$), $(2)$ implica $v_{Q-\beta}\ge N$. Por lo tanto $Q-\beta$ es un múltiplo de a $(X-\alpha)^N$, es decir, $$\tag3Q(X)=b(X-\alpha)^N+\beta$$ con $\alpha,\beta,b\in\Bbb C$, $b\ne0$. A continuación, $\alpha$ es la única raíz de la derivada $Q'(X)=Nb(X-\alpha)^{N-1}$, por lo tanto $Q(X)-w$ $w\ne \beta$ $N$ distintos, simple raíces y en la mayoría de los una de estas es igual a $\beta$. En consecuencia, vamos a $w^*$ ser una raíz de $Q(X)-w$$w^*\ne\beta$. La adaptación de $(2)$, nos encontramos con $Nv_P(w^*)=v_P(w)$. Por infinitos descenso, nos encontramos con que $v_P(w)=0$ todos los $w\ne\beta$. En otras palabras, $$\tag4P(X)=a(X-\beta)^n$$ for some $un\ne 0$.

A continuación, $\beta$ es la única raíz de $P(X)^{N}$, por lo tanto la única raíz de $Q(X)-\beta$. Por lo tanto,$\beta=\alpha$. Por hacer una comparación rápida de los principales coeficientes, llegamos a $(1)$. $\square$

Nota: Si sabemos que $P,Q$ tiene coeficientes reales, entonces, por supuesto, $a,b,\beta$ son reales.