Pedir la verificación de una matriz simple resultado

Question

Supongamos $X$ $k\times 1$ vector de variables aleatorias. A continuación, por favor, compruebe que el $EX^{\prime}(EXX^{\prime})^{-1}EX\leq 1$.

Al $K=1$ este es un resultado conocido que $(EX)^{2}\leq EX^{2}$. Pero, ¿cómo puedo reclamar esto en general?

Answer 1

Deje $\mu = EX$$\Sigma = E(XX^T) - \mu\mu^T$. Entonces tenemos que mostrar $$ \mu^T (\Sigma + \mu\mu^T)^{-1}\mu \leq 1. $$

Deje $C = E(XX^T)$, de modo que $\Sigma = C - \mu\mu^T$. El uso de la matriz de determinante lema y la existencia de $C^{-1}$ podemos ver que $\Sigma^{-1}$ existe exactamente al $\mu^T C^{-1}\mu\neq 1$. Si $\mu^T C^{-1} \mu = 1$ hemos terminado, así que WLOG asumimos $\mu^T C^{-1}\mu\neq 1$.

Luego por la de Sherman–Morrison fórmula tenemos $$ \mu^T (\Sigma + \mu\mu^T)^{-1}\mu = \mu^T \Sigma^{-1}\mu - \mu^T \left(\frac{\Sigma^{-1}\mu\mu^T\Sigma^{-1}}{1 + \mu^T \Sigma^{-1}\mu}\right)\mu = c - \frac{c^2}{1+c} = \frac{c}{1+c} < 1 $$ desde $\Sigma^{-1}$ PSD para $c \geq 0$.