Cómo encontrar las dos últimas cifras de $299^{33}$ . ¿Hay algún truco?

Question

Encuentra las dos últimas cifras del número $N=299^{33}$

¿Hay algún truco para encontrar las dos últimas cifras de un número tan grande? Si es así, entonces por favor compártalo conmigo

Esta es una pregunta del examen GMAT.

Answer 1

Como tu pregunta está etiquetada con GMAT, voy a suponer que no eres matemático... Yo tampoco lo soy, y toda esta charla sobre el teorema de Euler y el módulo me va a dar dolor de cabeza ;)

Así que, en pocas palabras... el truco es que sólo los dos dígitos de la derecha de cada número que se multiplica pueden tener algún efecto sobre los dos dígitos de la derecha de la respuesta. Por lo tanto, puedes dejar de lado el " $2$ " de $299$ porque $299$ al cuadrado termina con lo mismo $2$ dígitos como $99$ al cuadrado.

$2$ y el poder: $99 \times 99 = 9801, \ldots$ ahora puede soltar el " $98$ " porque no tiene efecto sobre los dos dígitos de la derecha de la respuesta.

$3$ rd poder: $01 \times 99 = 99$

$4$ de la potencia: $99 \times 99 = 9801, \ldots$ dejar caer el " $98$ " de nuevo

$5$ de la potencia: $01 \times 99 = 99$

etc... ¿Ves el patrón? Incluso los poderes terminarán con " $01$ " y los poderes de impar terminarán con " $99$ "

Answer 2

Una pista:

$$299 = 300 -1$$

Por lo tanto, $N \equiv (-1)^{33} \pmod {100}$

Editar:

La siguiente página puede ser útil.

aritmética modular página de wikipedia

Dejemos que $a, q, b, r \in \mathbb{Z}$ y $$a=bq+r$$

entonces decimos $a \equiv r \mod q.$

Utilizando la aritmética modular podemos resolver generalmente algún problema elemental de teoría de números centrándonos en lo que nos interesa. Por ejemplo en tu caso, podemos centrarnos en las dos últimas cifras, o si tu interés es si un número es impar o par, basta con tratar $\mod 2$ .

Algunas de las operaciones que podemos realizar son:

si $a \equiv b \pmod q$ y $c \equiv d \pmod q$ entonces tenemos $$a+c \equiv b+d \pmod q$$

y $$ac \equiv bd \pmod q$$

y $$a^k \equiv b^k \pmod q$$

Desde $$299 = 3\times 100 -1,$$

tenemos $$299 \equiv -1 \pmod{100}$$

$$299^{33} \equiv (-1)^{33} = -1 \pmod{100}$$

Tenga en cuenta que $$99 \equiv -1 \pmod{100}$$

Por lo tanto, los dos últimos dígitos son $99$

Answer 3

Nota: $$299^{33}=(300-1)^{33}=300^{33}-33\cdot 300^{32}\cdot 1+\cdots +33\cdot 300\cdot 1^{32}-1^{33}=M\cdot 100-1=\cdots99.$$

Answer 4

Puede reescribir $299^{33}$ como $(300-1)^{33}$ . Última $2$ dígitos de la suma de todos los términos de la expansión binomial excepto el último término es $00$ . Porque se pueden dividir por $300$ . Cuando añadimos el último término $-1$ a $00$ La respuesta es $99$ .

Answer 5

Si te refieres a los dos dígitos más a la izquierda, puedes copmutar esto de la siguiente manera:

Dejemos que $N:=\Bigg[33 . \log_{10} 299\Bigg]$ , entonces podemos ver fácilmente que : $10^N \leq 299^{33} < 10^{N+1}$ , por lo que los dos dígitos de la izquierda son iguales a $\Bigg[\dfrac{299^{33}}{10^{N-1}}\Bigg]$ . Pero se puede ver que es igual a $ \Bigg[ 10 ^ { 1+ \Big \{ 33.\log_{10}299 \Big\} } \Bigg]=49.$

Pero si te refieres a los dos dígitos más a la derecha es igual a $(-1)^{33}=-1\equiv 99 \mod100$ .