Determinante de la computación sin expansión

Question

$$ \begin {align} \mathrm D &= \left | \begin {matrix} (b+c)^2 & a^2 & a^2 \\ b^2 & (a+c)^2 & b^2 \\ c^2 & c^2 & (a+b)^2 \end {matrix} \right | \\ &= (a+b+c) \left | \begin {matrix} b+c - a & a^2 & a^2 \\ b - a -c & (a+c)^2 & b^2 \\ 0 & c^2 & (a+b)^2 \end {matrix} \right | \\ &= (a+b+c)^2 \left | \begin {matrix} b+c - a & 0 & a^2 \\ b - a -c & a+c - b & b^2 \\ 0 & c - a-b & (a+b)^2 \end {matrix} \right | \\ &= (a+b+c)^2 \left | \begin {matrix} b+c - a & 0 & a^2 \\ 0 & a+c - b & b^2 \\ c - a-b & c - a-b & (a+b)^2 \end {matrix} \right | \end {align}$$

Puede $ \rm D$ se simplifique aún más sin expandirse? Creo que debería ser porque esta era una cuestión de competencia.

Answer 1

Ya hemos reducido el problema para calcular

$$D’= \left | \begin {matrix} b+c - a & 0 & a^2 \\ 0 & a+c - b & b^2 \\ b & a & -ab \end {matrix} \right |$$

Si $a=0$ entonces

$$D’= \left | \begin {matrix} b+c & 0 & 0 \\ 0 & c - b & b^2 \\ b & 0 & 0 \end {matrix} \right |=0.$$

Si $b=0$ entonces

$$D’= \left | \begin {matrix} c - a & 0 & a^2 \\ 0 & a+c & 0 \\ 0 & a & 0 \end {matrix} \right |=0.$$

De lo contrario, pongan $R’_1=R_1+ \frac abR_3$ y $R’_2=R_2+ \frac baR_3$ . Luego

$$D’= \left | \begin {matrix} b+c & \frac {a^2}b & 0 \\ \frac {b^2}a & a+c & 0 \\ b & a & -ab \end {matrix} \right |=-ab \left | \begin {matrix} b+c & \frac {a^2}b \\ \frac {b^2}a & a+c \\ \end {matrix} \right |=-ab[(a+c)(b+c)-ab]=-ab[ac+bc+c^2]=-abc(a+b+c).$$

Esta última fórmula se mantiene también cuando $a=0$ o $b=0$ . Por último,

$$D=(a+b+c)(-2)D’=2(a+b+c)^3abc.$$