Considere la posibilidad de un conectada (posibilidad reducible) la variedad algebraica $X$ $\mathbb{C}$ de pura dimensión $n$. Es cierto que $H^{2n}(X,\mathbb{Q})\cong \mathbb{Q}^r$ $r=$#irreductible componentes de $X$, donde el lado izquierdo es el singular cohomology con respecto a la analítica, la topología?
Respuesta
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Cada uno completo (compacto en la analítica de la topología) irreductible compleja $n$-dimensiones algebraicas variedad admite una triangulación de lo que es un cerrado orientado conectado pseudomanifold de dimensión $2n$. (Anosov en el artículo no da una referencia, listas de este como uno de los ejemplos. Sin embargo: La parte más difícil de la prueba es la existencia de una triangulación, ver, por ejemplo, Hironaka del papel "Triangulaciones de Conjuntos Algebraicos", de 1974, aunque el original de la prueba es debido a Lojasiewicz. La comprobación de que irreductibilidad implica orientado pseudomanifold es un buen ejercicio de definiciones). Si $X$ $m$- dimensiones cerrado orientado conectado psedomanifold, a continuación,$H^m(X; {\mathbb Z})\cong {\mathbb Z}$. Este es un ejercicio de Spanier "Topología Algebraica" (pág. 206); si quieres ver una prueba, echa un vistazo a Seifert y Threlfall "Topología", de la sección 24. El resto (reducible caso) se sigue de la de Mayer-Vietoris la secuencia desde las intersecciones de irreductible de los componentes reales de codimension $\ge 2$.
