Construcción $4 \times 4$ cuadrado mágico con fijo "1"

Question

El método que he encontrado para generar $4\times 4$ cuadrados mágicos me da un resultado en el que el número "1" en una de las esquinas de la plaza. ¿Cómo podemos extender esto a un método para generar un cuadrado mágico, de un lugar fijo de número "$1$"?

El número "$1$" puede ser en $16$ diferentes lugares (las células). Si damos nombre a las celdas, desde la esquina superior izquierda: $1, 2, 3,4, 5, \ldots,$ y el número "$1$" a $i^{th}$ celda, entonces, ¿cómo podemos llenar las otras células para hacer un cuadrado mágico?

Usted puede ver las variaciones aquí.

Answer 1

Realmente sólo hay tres lugares diferentes: en una esquina, a un lado de una esquina, y un paso en diagonal desde una esquina. Si podemos poner a $1$ en cada uno de estos, podemos ponerlo en cualquier celda mediante el uso de rotaciones y reflexiones. Ya tenemos un rincón. Podemos restar cada número de $16$ y mantener la plaza de la magia, pero eso no ayuda, ya que pone a $1$ en la esquina inferior derecha. Debido a la disposición, podemos agregar $8$ a todos los números por debajo de $8$ y restar $8$ de todos los anteriores, dando $$\begin {array} {c|c|c|c} 9&7&6&12 \\ \hline 4&14&15&1 \\ \hline 16&2&3&13 \\ \hline 5&11&10&8 \end {array}$$ Que se pone junto a la esquina. También puede rotar la $2 \times 2$ bloques por $180^\circ$ para obtener $$\begin {array} {c|c|c|c} 6&12&9&7 \\ \hline 15&1&4&14 \\ \hline 3&13&16&2 \\ \hline 10&8&5&11 \end {array}$$, que se pone uno en la esquina

Answer 2

En primer lugar vamos a definir la más poderosa magia de la plaza, que vamos a llamar a $\color{Red}{\text{super-magic square}}$. Por un $\color{Red}{\text{super-magic square}}$ nos referimos a un cuadrado mágico como el de la suma de cualquier fila es igual a la suma de cualquier columna es igual a la suma de cualquier diagonal.

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Por ejemplo, supongamos la siguiente: $$\begin {array} {|c|c|c|c|} \hline 1&14&7&12 \\ \hline 15&4&9&6 \\ \hline 10&5&16&3 \\ \hline 8&11&2&13\\ \hline \end {array}$$

aquí tenemos:

$\color{Blue}{\text{Columns}}$: $$\begin {array} {ccccccccc} 1 & + & 15 & + & 10 & + & 8 & = & 34 \\ 14 & + & 4 & + & 5 & + & 11 & = & 34 \\ 7 & + & 9 & + & 16 & + & 2 & = & 34 \\ 12 & + & 11 & + & 3 & + & 13 & = & 34 \\ \end {array}$$

$\color{Green}{\text{Rows}}$: $$\begin {array} {ccccccccc} 1 & + & 14 & + & 7 & + & 12 & = & 34 \\ 15 & + & 4 & + & 9 & + & 6 & = & 34 \\ 10 & + & 5 & + & 16 & + & 3 & = & 34 \\ 8 & + & 11 & + & 2 & + & 13 & = & 34 \\ \end {array}$$

$\color{Purple}{\text{Diagonals parallel to the main diagonal}}$: $$\begin {array} {ccccccccc} 1 & + & 4 & + & 16 & + & 13 & = & 34 \\ 14 & + & 9 & + & 3 & + & 8 & = & 34 \\ 7 & + & 6 & + & 10 & + & 11 & = & 34 \\ 12 & + & 15 & + & 5 & + & 2 & = & 34 \\ \end {array}$$

$\color{Pink}{\text{Diagonals which are not parallel to the main diagonal}}$: $$\begin {array} {ccccccccc} 12 & + & 9 & + & 5 & + & 8 & = & 34 \\ 7 & + & 4 & + & 10 & + & 13 & = & 34 \\ 14 & + & 15 & + & 3 & + & 2 & = & 34 \\ 1 & + & 6 & + & 16 & + & 11 & = & 34 \\ \end {array}$$

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$$ $1$1 + 14 + 7 + 12 = 34 , %% \\ %% 15 + 4 + 9 + 6 = 34 , %% \\ %% 10 + 5 + 16 + 3 = 34 , %% \\ %% 8 + 11 + 2 + 13 = 34 , $$

Vamos a probar que, $\color{Red}{\text{super-magic square}}$ podría estar en todas partes en un $\color{Red}{\text{super-magic square}}$.

Comentario(I): Considere la posibilidad de que un $\color{Brown}{\text{of any arbitrary order}}$ ( $\color{Blue}{\text{replace any two arbitrary columns}}$ ). Entonces si $\color{Red}{\text{super-magic square}}$, el cuadrado, es de nuevo un $\color{Red}{\text{super-magic square}}$.

Comentario(II): Considere la posibilidad de que un $\color{Brown}{\text{of any arbitrary order}}$ ( $\color{Green}{\text{replace any two arbitrary rows}}$ ). Entonces si $\color{Red}{\text{super-magic square}}$, el cuadrado, es de nuevo un $\color{Blue}{\text{column operations (I)}}$.

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Ahora por $\color{Green}{\text{row operations (II)}}$ y por %#%#% , somos capaces de cambiar "la celda que contiene 1" a "cualquier celda deseada, por lo que se hacen!