No extremos de conjunto ternario de Cantor

Question

He estudiado el Ternario de Cantor Conjunto $C$ . Sabemos que el ternario de Cantor conjunto es incontable. Tome el conjunto $A$ como el conjunto de todos los puntos finales de la abra quitado segmentos. Es decir, $A=\{0,\frac{1}{3},\frac{2 }{3},\frac{1}{9},\frac{2}{9}....\}$. Ahora el conjunto $C\setminus A$ todavía es incontable. Por lo que la cardinalidad de a $C$ fue determinado por el no-final de puntos.

Mi pregunta es: ¿alguien Puede escribir cualquier $5$ (al menos) los miembros de $C\setminus A$?

Sé $\frac{1}{4}, \frac{3}{10} \in C\setminus A$ pero yo no sé acerca de los otros.

Cualquier ayuda será apreciada!

Answer 1

Cualquier número real entre el $0$ $1$ cuyo ternario de expansión no tiene ningún tipo de $1$s, en el conjunto de Cantor. Así, por ejemplo, cada uno de los siguientes ternario expansiones corresponde a un punto en el conjunto de Cantor:

• $0.2020202020...$

• $0.220022002200...$

• $0.202200222000...$

y así sucesivamente. Es fácil comprobar que estos no corresponden a los extremos del conjunto de Cantor.

Answer 2

Noé Schweber la respuesta da una caracterización completa de puntos en el conjunto de Cantor. Un punto es un extremo si finalmente termina en todos los 0s o todos los 2s. De lo contrario, no es un extremo.

Sólo voy a añadir un par de ideas:

El conjunto de Cantor tiene algunas simetrías, como $x\mapsto \frac13 x$$x\mapsto 1-x$. Estos lineal simetrías preservar extremo-ness. Así que si usted sabe que $\frac14$ no es una estación, usted también sabe que $\frac{3}{4}$ $\frac{1}{12}$ $\frac{11}{12}$ no son extremos. Del mismo modo, $\frac{3}{10}$ consigue $\frac{1}{10},\frac{7}{10},\frac{9}{10},\frac{1}{30},$ y así sucesivamente.

Finalmente, como la de Noé tercer ejemplo ilustra, puede utilizar ternario expansiones para describir concreto irracional elementos de $C\setminus A$. Para otro ejemplo, tenemos $\theta\left(\frac13\right)-1=0.2002000020000002\ldots_3\in C\setminus A$. Véase mi respuesta a esta pregunta por el sentido de la $\theta$ notación: Que irrationals están contenidos en el conjunto de Cantor?

Answer 3

Cualquier elemento $Z$ en el Conjunto de Cantor puede ser escrita como :

$Z= \sum_{n=1}^\infty x_n/3^n$ donde $x_n=0$ o $2$.

Puede sustituir cualquier combinación de $0,2$ y tienen su número, perteneciente a la conjunto de cantor