Claramente $(\mathbb{R}, d)$ está acotado, ya que $d(x,y) < 1$ por cada $x,y\in\mathbb{R}$ .
Demostremos que $(\mathbb{R}, d)$ es completa. En concreto, dejemos que $(x_n)\subset\mathbb{R}$ sea una sucesión de Cauchy. Dado $\epsilon\in (0,1)$ , dejemos que $\eta := \epsilon / (1-\epsilon)$ para que $\eta/(1+\eta) = \epsilon$ . Desde $(x_n)$ es una secuencia de Cauchy, existe $N\in\mathbb{N}$ tal que $$ d(x_j, x_k) < \eta, \qquad \forall j,k\geq N, $$ es decir $$ \frac{|x_j - x_k|}{1+|x_j-x_k|} < \frac{\epsilon}{1+\epsilon} \qquad \forall j,k\geq N. $$ Dado que la función $t\mapsto t/(1+t)$ es estrictamente creciente en $[0,+\infty)$ , la última condición equivale a $$ |x_j - x_k| < \epsilon \qquad \forall j,k\geq N. $$ En otras palabras, hemos demostrado que $(x_n)$ es una secuencia de Cauchy en $(\mathbb{R}, |\cdot|)$ . Desde $(\mathbb{R}, |\cdot|)$ es completa, la secuencia $(x_n)$ es convergente en $(\mathbb{R}, |\cdot|)$ es decir, existe $x\in\mathbb{R}$ tal que $$ \lim_{n\to +\infty} |x_n - x| = 0. $$ Pero esto implica que $$ \lim_{n\to +\infty} \frac{|x_n - x|}{1+|x_n-x|} = 0, $$ por lo que $(x_n)$ es convergente también en $(\mathbb{R}, d)$ .
Finalmente, las dos métricas generan la misma topología, por lo que $(\mathbb{R}, d)$ no es compacto.
