Demostrar eso si $n \mid 10^n-1$ y $3 \mid n$

Question

Demostrar eso si $n \mid 10^n-1$ y $3 \mid n$ $n>1$.

Hasta ahora he deje que $p \mid n$. Por lo tanto, $10^n \equiv 1\mod{p}$ y, del pequeño Teorema de Fermat, $10^{p-1} \equiv 1\mod{p}$.

Answer 1

Que $p$ ser la prima más pequeña tal que $p|n$.

(Edición: tenga en cuenta que $2|n$ y $5|n$ son imposibles, así $p\neq 2$ y $p\neq 5$.)

Que $a>0$ ser el entero más pequeño tal que $10^a \equiv 1 \mod p$. Por $10^n \equiv 1 \mod p$ puede ser demostrado que $a|n$.

Supongamos que $a=1$, luego sigue $p=3$ y hemos terminado.

Desde $10^{p-1}\equiv 1\mod p$ sabemos que $a<p$.

Así que tenemos $1<a<p$ y $a|n$, que es una contradicción a $p$ siendo el primero más pequeño que divide $n$.

Answer 2

$p := $ % factor principal $\rm\color{#0a0}{least}$$n$. $\,p\mid n\mid 10^{\large n}\!-\!1\Rightarrow p\nmid 10,\,$ así por Fermat ${\rm mod}\ p\!:\, 10^{\large p-1}\!\equiv 1\equiv 10^{\large n}\,$ $10$ tiene así orden $j$ dividir $\rm\color{#0a0}{coprimes}$ $\,p\!-\!1$ y $\,n,\,$ % lo $\,j=\color{#c00}{\bf 1}\,$lo $\,p\mid 10^{\color{#c00}{\bf 1}}\!-1\,\Rightarrow\,p=3$